На сколько изменится напряжение на поверхности вала, при увеличении его диаметра вдвое? а) Уменьшится в восемь раз

Для ответа на этот вопрос нам необходимо рассмотреть математическое соотношение между напряжением на поверхности вала и его диаметром. Это соотношение известно как формула Лапласа и описывается следующим образом:

\[P = \frac{F}{A}\]

где \(P\) - давление на поверхности вала, \(F\) - сила, действующая на эту поверхность, и \(A\) - площадь поверхности вала.

Если мы предположим, что сила, действующая на поверхность вала, остается неизменной, насколько изменится давление, а следовательно и напряжение, при увеличении диаметра вдвое?

Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно понять, как площадь поверхности вала связана с его диаметром. Площадь поверхности вала можно представить в виде формулы:

\[A = \pi r^2\]

где \(r\) - радиус вала.

Поскольку радиус вала является половиной его диаметра, то мы можем выразить \(r\) через диаметр \(d\) следующим образом:

\[r = \frac{d}{2}\]

Теперь давайте рассмотрим поведение площади \(A\) в зависимости от диаметра \(d\):

\[A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2\]
\[A = \pi \left(\frac{d^2}{4}\right)\]
\[A = \frac{\pi d^2}{4}\]

Таким образом, мы получаем, что площадь поверхности вала пропорциональна квадрату его диаметра.

Вернемся к формуле для давления \(P\):

\[P = \frac{F}{A}\]
\[P = \frac{F}{\frac{\pi d^2}{4}}\]

Теперь, если мы увеличиваем диаметр вдвое, т.е. \(d \rightarrow 2d\), давление \(P\) будет:

\[P = \frac{F}{\frac{\pi (2d)^2}{4}}\]
\[P = \frac{F}{\frac{\pi 4d^2}{4}}\]
\[P = \frac{F}{\pi d^2}\]

Мы видим, что давление, а следовательно и напряжение, остается неизменным при увеличении диаметра вдвое, и поэтому правильный ответ на задачу - б) Останется неизменным.