На скільки зменшилася довжина вертикально підвішеної свинцевої дротини діаметром 1 мм, якщо під час її плавлення

Для решения этой задачи нам понадобится знание о законе Лапласа, а также некоторых свойствах свинца.

Для начала определим через формулу плоской фигуры массу одной капли свинца. Масса капли свинца равна разности массы дротины до плавления и суммы масс остывших капель:

\[m_{\text{к}} = m_{\text{д}} - m_{\text{к}} \cdot n,\]

где \(m_{\text{к}}\) - масса капли свинца, \(m_{\text{д}}\) - масса дротины, \(n\) - количество капель.

Воспользуемся формулой для объема шара и найдем массу дротины до плавления:

\[m_{\text{д}} = V_{\text{д}} \cdot \rho_{\text{с}},\]

где \(V_{\text{д}}\) - объем дротины, \(\rho_{\text{с}}\) - плотность свинца.

Объем дротины равен объему шарового слоя:

\[V_{\text{д}} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot R_{\text{д}}^2 \cdot h,\]

где \(R_{\text{д}}\) - радиус дротины, \(h\) - длина дротины.

Итак, мы получили выражение для массы дротины:

\[m_{\text{д}} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot R_{\text{д}}^2 \cdot h \cdot \rho_{\text{с}}.\]

Найдем массу одной капли:

\[m_{\text{к}} = m_{\text{д}} - m_{\text{к}} \cdot n = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot R_{\text{д}}^2 \cdot h \cdot \rho_{\text{с}} - m_{\text{к}} \cdot n.\]

Теперь разберемся с изменением длины дротины. Известно, что изменение длины дротины пропорционально поверхностному натягу и обратно пропорционально диаметру:

\[\Delta L = \frac{{2 \cdot \sigma}}{{d \cdot \rho_{\text{с}}}},\]

где \(\Delta L\) - изменение длины, \(\sigma\) - поверхностный натяг, \(d\) - диаметр дротины.

Теперь у нас есть формулы для нахождения массы капли свинца и изменения длины дротины. Подставим известные значения:

\[\Delta L = \frac{{2 \cdot 0,47 \, \text{Н/м}}}{{1 \, \text{мм} \cdot 11300 \, \text{кг/м}^3}}.\]

Таким образом, мы получили формулу для изменения длины дротины. Теперь остается только подставить известные значения и произвести вычисления.