На основании выборки объемом 64 из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением

Для проверки данной гипотезы нам потребуется использовать статистический критерий, а именно критерий Стьюдента для одновыборочного случая.

Перед тем как приступить к расчетам, давайте сначала определим основные параметры задачи:

Среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности, \(\sigma = 40\),
Объем выборки, \(n = 64\),
Выборочное среднее, \(\bar{x} = 136.5\),
Значение альтернативной гипотезы, \(a_1 = 130\),
Уровень значимости, \(\alpha = 0.01\).

Для данного критерия Стьюдента выдвигается нулевая и альтернативная гипотезы:

\(H_0: a = a_0\) (нулевая гипотеза),
\(H_1: a > a_0\) (альтернативная гипотеза).

Теперь можно перейти к определению критической области и принятию решения на основании полученных результатов.

1. Определение критической области:

Критическая область будет односторонней, так как в альтернативной гипотезе указано "больше".
Для нахождения критической области воспользуемся таблицей значений квантилей распределения Стьюдента. Найдем критическое значение квантили уровня значимости \(\alpha\).
Уровень значимости \(\alpha = 0.01\) соответствует квантилю \(t_{1-\alpha, n-1}\).

2. Расчет статистики критерия:

Теперь, когда у нас есть все необходимые значения, мы можем рассчитать значение статистики критерия \(t\).
Статистика критерия может быть рассчитана по формуле:
\[t = \frac{\bar{x} - a_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\]

Подставляем значения:
\(\bar{x} = 136.5\),
\(a_0 = 130\),
\(\sigma = 40\),
\(n = 64\).

Вычисляем:
\[t = \frac{136.5 - 130}{\frac{40}{\sqrt{64}}} = \frac{6.5}{\frac{40}{8}} = \frac{6.5}{5} = 1.3\]

3. Принятие решения:

Теперь сравним значение статистики критерия \(t\) с критическим значением квантили, полученного из таблицы.
Если значение статистики попадает в критическую область, то мы отвергаем нулевую гипотезу \(H_0\). Если значение статистики находится вне критической области, то нулевая гипотеза отклоняется.
В нашем случае, если \(t > t_{1-\alpha, n-1}\), мы будем отвергать \(H_0\).

Подставляем значения:
\(t = 1.3\),
\(t_{1-\alpha, n-1} = t_{0.99, 63}\) (значение квантили для 63 степеней свободы).

Используя таблицу значений квантилей, находим \(t_{0.99, 63} = 2.635\).

Так как \(1.3 < 2.635\), то значение статистики находится вне критической области, и мы не отвергаем \(H_0\).

Итак, на основании полученных результатов мы не имеем достаточных доказательств для отвержения нулевой гипотезы \(H_0: a = a_0 = 130\) в пользу альтернативной гипотезы \(H_1: a > 130\) на уровне значимости 0,01.