На оси абсцисс, найдите точку M, чтобы угол AMB был прямым (90°), при заданных точках A(2; 2) и B(5

Для начала давайте вспомним определение угла. Угол - это фигура, образованная двумя лучами, имеющими одну общую точку, которая называется вершиной. Теперь нам нужно найти точку M на оси абсцисс так, чтобы угол AMB был прямым, то есть равнялся 90°.

У нас уже имеются точки A(2; 2) и B(5; y) на плоскости. По условию мы знаем, что точка M будет находиться на оси абсцисс, что означает, что ее ордината (y-координата) будет равна 0. Таким образом, координаты точки M будут (x; 0), где x - абсцисса точки M.

Чтобы найти координаты точки М, нам нужно учесть свойства прямоугольного треугольника AMB.

Расстояние между точками A и M по оси абсцисс (x-координатам) будет равно |x - 2|, так как три точки находятся на одной прямой и образуют отрезок, длина которого можно вычислить при помощи модуля разности координат.

Аналогично, расстояние между точками M и B по оси абсцисс будет равно |5 - x|.

Так как угол AMB равен 90°, мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника AMB, которая гласит: квадрат гипотенузы (AB) равен сумме квадратов катетов (AM и MB).

Таким образом, у нас получается следующее уравнение:

\((|x - 2|)^2 + (|5 - x|)^2 = AB^2\)

По условию, мы знаем, что угол AMB равен 90°, поэтому AB - это гипотенуза треугольника AMB, и ее длина равна \(\sqrt{(5-2)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}\)

Теперь нам нужно решить уравнение \((|x - 2|)^2 + (|5 - x|)^2 = 13\) для нахождения значения x.

Рассмотрим два случая:

1. Если \(x \geq 5\), то \(|x - 2| = x - 2\) и \(|5 - x| = x - 5\). Подставим эти значения в уравнение:

\((x - 2)^2 + (x - 5)^2 = 13\)

\(x^2 - 4x + 4 + x^2 - 10x + 25 = 13\)

\(2x^2 - 14x + 16 = 13\)

\(2x^2 - 14x + 3 = 0\)

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта:

\(D = (-14)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 196 - 24 = 172\)

Так как дискриминант положительный, у нас будет два корня:

\(x_1 = \frac{-(-14) + \sqrt{172}}{2 \cdot 2} \approx 3.26\)

\(x_2 = \frac{-(-14) - \sqrt{172}}{2 \cdot 2} \approx 0.74\)

Это два возможных значения x при \(x \geq 5\), где AMB будет прямым углом.

2. Если \(2 \leq x < 5\), то \(|x - 2| = x - 2\) и \(|5 - x| = -(x - 5)\). Подставим эти значения в уравнение:

\((x - 2)^2 + (-(x - 5))^2 = 13\)

\(x^2 - 4x + 4 + (x - 5)^2 = 13\)

\(x^2 - 4x + 4 + x^2 - 10x + 25 = 13\)

\(2x^2 - 14x + 16 = 13\)

\(2x^2 - 14x + 3 = 0\)

Здесь мы снова получаем квадратное уравнение с теми же значениями дискриминанта и корней, как и в предыдущем случае.

Итак, у нас два возможных значения x: \(x_1 \approx 3.26\) и \(x_2 \approx 0.74\), при которых угол AMB будет прямым (90°), при заданных точках A(2; 2) и B(5; y).

Точки M будут иметь координаты (3.26; 0) или (0.74; 0) соответственно.