На какую долю времени Т шарик математического маятника перемещается от крайнего левого положения до положения

Для решения этой задачи нам понадобится уравнение математического маятника и законы сохранения энергии.

Математический маятник - это система, состоящая из точечной массы \( m \), подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длиной \( L \). При отклонении от положения равновесия на угол \( \theta \), шарик начинает совершать гармонические колебания.

В условии задачи нам дано, что нам нужно найти долю времени, которое шарик математического маятника перемещается от крайнего левого положения до положения равновесия. Пусть \( T \) - период колебаний математического маятника.

Начнем с уравнения гармонического колебания для математического маятника:

\[
T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}
\]

где \( g \) - ускорение свободного падения.

Для решения задачи нужно найти долю времени, которое шарик тратит на путь от крайнего левого положения до положения равновесия. Этот путь состоит из двух частей: от максимального отклонения до нижней точки положения равновесия и от нижней точки до положения равновесия.

1. От максимального отклонения до нижней точки:
Путь от максимального отклонения до нижней точки положения равновесия составляет половину длины нити. Давайте обозначим этот путь как \( l_1 \). Зная длину нити \( L \), мы можем выразить \( l_1 \) следующим образом:

\[
l_1 = \frac{L}{2}
\]

2. От нижней точки до положения равновесия:
Давайте представим, что шарик проходит этот путь за время \( t \). Зная период колебаний \( T \), мы можем записать уравнение:

\[
t + \frac{t}{2} + \frac{t}{2} = T
\]

где первый член \( t \) - время, которое шарик тратит на движение от нижней точки до средней точки пути, а второй и третий члены \( \frac{t}{2} \) - время, которое шарик тратит на движение от средней точки пути до положения равновесия.

Упростим это уравнение:

\[
t + t = T
\]

\[
2t = T
\]

\[
t = \frac{T}{2}
\]

Теперь у нас есть время \( t \), которое шарик тратит на движение от нижней точки до положения равновесия. Остается только просуммировать путь от максимального отклонения до нижней точки и путь от нижней точки до положения равновесия:

\[
l_2 = l_1 + t
\]

\[
l_2 = \frac{L}{2} + \frac{T}{2}
\]

Таким образом, шарик математического маятника перемещается на расстояние \( \frac{L}{2} + \frac{T}{2} \) от крайнего левого положения до положения равновесия.

Давайте еще раз подведем итоги:

Путь \( l_1 \) от максимального отклонения до нижней точки: \( l_1 = \frac{L}{2} \)

Время \( t \) от нижней точки до положения равновесия: \( t = \frac{T}{2} \)

Суммарный путь \( l_2 \) от крайнего левого положения до положения равновесия: \( l_2 = \frac{L}{2} + \frac{T}{2} \)

Таким образом, шарик перемещается на расстояние \( l_2 = \frac{L}{2} + \frac{T}{2} \) от крайнего левого положения до положения равновесия.

Надеюсь, это решение ясно объяснено и поможет вам. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!