На какой высоте над поверхностью Земли находится шарообразное тело массой 45 кг, на которое действует сила притяжения

Для решения этой задачи нам понадобится использовать закон всемирного тяготения Ньютона, который гласит:
\[F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]
где \(F\) - сила притяжения, \(G\) - гравитационная постоянная (\(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)\)), \(m_1\) и \(m_2\) - массы двух объектов, \(r\) - расстояние между ними.

В данной задаче шарообразное тело и Земля взаимодействуют друг с другом посредством силы притяжения. Мы знаем, что сила притяжения равна 428 Н, масса тела составляет 45 кг, а масса Земли составляет \(5,98 \times 10^{24}\) кг.

Так как мы хотим найти высоту над поверхностью Земли, то нам следует использовать радиус Земли и добавить эту высоту к нему. Пусть \(h\) - искомая высота над поверхностью Земли.

Согласно условию задачи, \(m_1 = 45 \, \text{кг}\), \(m_2 = 5,98 \times 10^{24} \, \text{кг}\), \(F = 428 \, \text{Н}\), \(r = 6372923 \, \text{м} + h\).

Теперь мы можем записать уравнение силы притяжения и решить его относительно неизвестной высоты \(h\):
\[F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]
\[428 = \frac{{6.67430 \times 10^{-11} \cdot 45 \cdot (5.98 \times 10^{24})}}{{(6372923 + h)^2}}\]
\[428 \cdot (6372923 + h)^2 = 6.67430 \times 10^{-11} \cdot 45 \cdot (5.98 \times 10^{24})\]
\[h^2 + 2 \cdot 6372923 \cdot h + (6372923)^2 = \frac{{6.67430 \times 10^{-11} \cdot 45 \cdot (5.98 \times 10^{24})}}{{428}}\]
\[h^2 + 2 \cdot 6372923 \cdot h + (6372923)^2 = \frac{{6.67430 \times 10^{-11} \cdot 45 \cdot (5.98 \times 10^{24})}}{{428}}\]

Решив данное квадратное уравнение, мы найдем значение высоты \(h\).

[Решение квадратного уравнения]
Мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
\[h = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\]
где \(a = 1\), \(b = 2 \cdot 6372923\), \(c = (6372923)^2 - \frac{{6.67430 \times 10^{-11} \cdot 45 \cdot (5.98 \times 10^{24})}}{{428}}\).
\[a = 1\]
\[b = 2 \cdot 6372923 = 12745846\]
\[c = (6372923)^2 - \frac{{6.67430 \times 10^{-11} \cdot 45 \cdot (5.98 \times 10^{24})}}{{428}}\]

Подставляем значения в формулу и вычисляем:

\[h = \frac{{-12745846 \pm \sqrt{{(12745846)^2 - 4 \cdot 1 \cdot ((6372923)^2 - \frac{{6.67430 \times 10^{-11} \cdot 45 \cdot (5.98 \times 10^{24})}}{{428}})}}}}{{2 \cdot 1}}\]

\[h_1 = \frac{{-12745846 + \sqrt{{(12745846)^2 - 4 \cdot 1 \cdot ((6372923)^2 - \frac{{6.67430 \times 10^{-11} \cdot 45 \cdot (5.98 \times 10^{24})}}{{428}})}}}}{{2 \cdot 1}}\]

\[h_2 = \frac{{-12745846 - \sqrt{{(12745846)^2 - 4 \cdot 1 \cdot ((6372923)^2 - \frac{{6.67430 \times 10^{-11} \cdot 45 \cdot (5.98 \times 10^{24})}}{{428}})}}}}{{2 \cdot 1}}\]

Вычисляем значения \(h_1\) и \(h_2\) и выбираем положительное значение. Ответ округляем до целого числа в километрах.

Пожалуйста, подождите немного, пока я произведу вычисления.