На каком уровне атома водорода оказался медленный свободный электрон, испустивший фотон с длиной волны 0,09116 мкм?

Для решения данной задачи мы можем использовать формулу, известную как формула Бальмера, которая позволяет найти энергию фотона, испускаемого электроном при переходе с одного уровня на другой в атоме водорода:

\[
\Delta E = \frac{{R \cdot (1/n_f^2 - 1/n_i^2)}}{{hc}}
\]

где:
\(\Delta E\) - разность энергий между начальным (\(n_i\)) и конечным (\(n_f\)) уровнями электрона,
\(R\) - постоянная Ридберга (\(1.097373 \times 10^7 \, \text{м}^{-1}\)),
\(h\) - постоянная Планка (\(6.62607004 \times 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с}\)),
\(c\) - скорость света (\(2.998 \times 10^8 \, \text{м/с}\)).

Чтобы найти начальный уровень электрона в атоме водорода, вычислим разность между энергией начального уровня и энергией фотона:

\[
\Delta E = \frac{{hc}}{{\lambda}}
\]

где:
\(\lambda\) - длина волны фотона (\(0.09116 \, \mu\text{м} = 0.09116 \times 10^{-6} \, \text{м}\)).

Теперь подставим известные значения в формулу Бальмера и решим уравнение относительно начального уровня \(n_i\):

\[
\frac{{hc}}{{\lambda}} = \frac{{R \cdot (1/n_f^2 - 1/n_i^2)}}{{hc}}
\]

Перенесём \(hc\) в числитель, получим:

\[
\frac{{hc^2}}{{\lambda}} = R \cdot \left(\frac{{1}}{{n_f^2}} - \frac{{1}}{{n_i^2}}\right)
\]

Далее проведём несколько алгебраических преобразований, чтобы найти значение \(n_i\):

\[
\frac{{c^2}}{{\lambda}} = \frac{{R}}{{n_f^2}} - \frac{{R}}{{n_i^2}} \quad | \cdot n_i^2
\]

\[
n_i^2 \cdot \left(\frac{{c^2}}{{\lambda}}\right) = R - n_f^2 \cdot \left(\frac{{c^2}}{{\lambda}}\right) \quad | + n_f^2 \cdot \left(\frac{{c^2}}{{\lambda}}\right)
\]

\[
n_i^2 = n_f^2 + \frac{{R \cdot n_f^2 \cdot (c^2/\lambda)}}{{c^2/\lambda}} \quad | \sqrt{}
\]

\[
n_i = \sqrt{{n_f^2 + \frac{{R \cdot n_f^2 \cdot (c^2/\lambda)}}{{c^2/\lambda}}}}
\]

Теперь подставим все численные значения в формулу и вычислим \(n_i\):

\[
n_i = \sqrt{{n_f^2 + \frac{{(1.097373 \times 10^7 \, \text{м}^{-1}) \cdot n_f^2 \cdot \left(\frac{{2.998 \times 10^8 \, \text{м/с}}}}{{0.09116 \times 10^{-6} \, \text{м}}}\right)}}}
\]

Рассчитаем \(n_i\):

\[
n_i = \sqrt{{n_f^2 + \frac{{1.097373 \times 10^7 \cdot n_f^2 \cdot 3.291 \times 10^{14}}}{{0.09116}}}}
\]

\[
n_i = \sqrt{{n_f^2 + 4.16305 \times 10^{23} \cdot n_f^2}}
\]

\[
n_i = \sqrt{{(1 + 4.16305 \times 10^{23}) \cdot n_f^2}}
\]

\[
n_i = \sqrt{{4.16305 \times 10^{23} \cdot n_f^2 + n_f^2}}
\]

\[
n_i = \sqrt{{n_f^2 \cdot (4.16305 \times 10^{23} + 1)}}
\]

Таким образом, чтобы найти \(n_i\), необходимо вычислить квадратный корень из выражения \(n_f^2 \cdot (4.16305 \times 10^{23} + 1)\) при заданном значении \(n_f\).