На каком расстоянии от поверхности данной планеты отличается ускорение свободного падения в четыре раза от ускорения

Чтобы найти расстояние от поверхности планеты, на котором ускорение свободного падения отличается в четыре раза от ускорения на её поверхности, мы можем воспользоваться законом гравитации.

Ускорение свободного падения (g) на поверхности планеты определяется массой планеты (M) и её радиусом (R) по формуле:

\[ g = \frac{{G \cdot M}}{{R^2}} \]

где G - гравитационная постоянная.

Для ускорения свободного падения (g") на расстоянии r от поверхности планеты, мы можем записать:

\[ g" = \frac{{G \cdot M}}{{(R + r)^2}} \]

Также, по условию задачи, известно, что ускорение свободного падения на данном расстоянии (g") отличается в четыре раза от ускорения на поверхности планеты (g):

\[ g" = 4g \]

Подставим это значение в уравнение для g" и уравнение для g:

\[ \frac{{G \cdot M}}{{(R + r)^2}} = 4 \left( \frac{{G \cdot M}}{{R^2}} \right) \]

Сократим гравитационную постоянную и массу планеты:

\[ \frac{1}{{(R + r)^2}} = 4 \left( \frac{1}{{R^2}} \right) \]

Умножим обе части уравнения на \( R^2 \):

\[ 1 = 4 \left( \frac{{(R + r)^2}}{{R^2}} \right) \]

Раскроем скобки в правой части уравнения:

\[ 1 = 4 \left( \frac{{R^2 + 2Rr + r^2}}{{R^2}} \right) \]

Раскроем скобки дальше и упростим уравнение:

\[ 1 = 4 + 8 \left( \frac{{r}}{{R}} \right) + 4 \left( \frac{{r^2}}{{R^2}} \right) \]

Уберем дублирование R^2 в знаменателе:

\[ 1 = 4 + 8 \left( \frac{{r}}{{R}} \right) + 4 \left( \left( \frac{{r}}{{R}} \right)^2 \right) \]

Теперь давайте перенесем 4 влево и приведем подобные члены:

\[ 4 \left( \frac{{r^2}}{{R^2}} \right) + 8 \left( \frac{{r}}{{R}} \right) - 3 = 0 \]

Получившееся квадратное уравнение можно решить, используя квадратное уравнение. Для этого, вспомним общую формулу:

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

где a = 4, b = 8 и c = -3.

Применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} \]

Подставим значения a, b и c:

\[ r^2 = \frac{{-8 \pm \sqrt{{8^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3)}}}}{{2 \cdot 4}} \]

\[ r^2 = \frac{{-8 \pm \sqrt{{64 + 48}}}}{{8}} \]

\[ r^2 = \frac{{-8 \pm \sqrt{{112}}}}{{8}} \]

\[ r^2 = \frac{{-8 \pm 4\sqrt{{7}}}}{{8}} \]

\[ r^2 = -1 \pm \frac{{\sqrt{{7}}}}{{2}} \]

Так как расстояние (r) должно быть положительным, мы выберем положительное значение в квадратных скобках:

\[ r^2 = -1 + \frac{{\sqrt{{7}}}}{{2}} \]

\[ r^2 = \frac{{2 - \sqrt{{7}}}}{{2}} \]

\[ r^2 = 1 - \frac{{\sqrt{{7}}}}{{2}} \]

\[ r = \sqrt{{1 - \frac{{\sqrt{{7}}}}{{2}}}} \]

Таким образом, расстояние от поверхности планеты, на котором ускорение свободного падения отличается в четыре раза от ускорения на её поверхности, равно \(\sqrt{{1 - \frac{{\sqrt{{7}}}}{{2}}}}\).