На каком расстоянии от крепостной стены могли находиться цели, которых могли достигать снаряды катапульт, при осаде

Для решения данной задачи мы можем использовать уравнение движения снаряда в вертикальной плоскости.

Уравнение связи между высотой и временем \( h = v_0t - \frac{1}{2}gt^2 \) описывает зависимость высоты \( h \) от времени \( t \), начальной скорости \( v_0 \) и ускорения свободного падения \( g \).

Мы знаем, что начальная скорость снарядов равна 25 м/с и высота крепостной стены составляет 20,4 м. Мы хотим найти максимальное расстояние от стены, на котором могут находиться цели, достижимые снарядами катапульт.

Так как нас интересует максимальное расстояние, то цели находятся на расстоянии, где снаряд достигнет вершину своей траектории.

На вершине траектории высота снаряда будет максимальной, то есть \( h_{\text{макс}} \).

Мы знаем, что на вершине траектории вертикальная скорость снаряда равна нулю, то есть \( v = 0 \).

Мы можем использовать это условие для определения времени (\( t_{\text{вершины}} \)), когда снаряд достигнет вершины траектории.

Из уравнения связи можно выразить время \( t_{\text{вершины}} \):

\( v = v_0 - gt_{\text{вершины}} \)

Подставив значение начальной скорости и ускорения, получим:

\( 0 = 25 - 9.8t_{\text{вершины}} \)

Решим это уравнение относительно времени \( t_{\text{вершины}} \):

\( 9.8t_{\text{вершины}} = 25 \)

\( t_{\text{вершины}} = \frac{25}{9.8} \) (приближенное значение)

Теперь, зная время до вершины траектории, мы можем определить максимальную высоту (\( h_{\text{макс}} \)):

\( h_{\text{макс}} = v_0t_{\text{вершины}} - \frac{1}{2}gt_{\text{вершины}}^2 \)

Подставим значения:

\( h_{\text{макс}} = 25 \times \frac{25}{9.8} - \frac{1}{2} \times 9.8 \times \left(\frac{25}{9.8}\right)^2 \)

\( h_{\text{макс}} \approx 31.63 \) метра (не округляем до целых чисел на этом шаге, округлим в конце)

Теперь мы можем найти расстояние от стены до целей.

На максимальной высоте (\( h_{\text{макс}} \)) снаряд достигает вершины траектории, что означает, что половину времени оно поднимается и половину времени опускается. Таким образом, время полета (время от выпуска снаряда до его падения на землю) будет \( t_{\text{полета}} = 2t_{\text{вершины}} \).

Теперь найдем полное расстояние (\( d_{\text{расстояние}} \)):

\( d_{\text{расстояние}} = v_0t_{\text{полета}} \)

Подставляя значения:

\( d_{\text{расстояние}} = 25 \times 2 \times \frac{25}{9.8} \)

\( d_{\text{расстояние}} \approx 127.55 \) метра (не округляем до целых чисел на этом шаге, округлим в конце)

Теперь округлим полученные значения до целых чисел, так как ответы должны быть записаны в метрах:

Максимальная высота (\( h_{\text{макс}} \)) округляем до целого числа:

\( h_{\text{макс}} \approx 32 \) метра

Расстояние от стены (\( d_{\text{расстояние}} \)) округляем до целого числа:

\( d_{\text{расстояние}} \approx 128 \) метров

Итак, ответ на задачу: Цели могли находиться на расстоянии до 128 метров от крепостной стены, которых могли достигать снаряды катапульт при осаде древней крепости.