На каком интервале функция f(x)=x^3 возрастает, используя свойства функций?

Для определения интервалов возрастания функции \(f(x) = x^3\), мы можем использовать свойства функций и производные. Давайте разберемся в этом.

1. Сначала найдем производную функции \(f(x)\). Производная позволяет нам узнать, как меняется функция в каждой точке.
\[f"(x) = 3x^2\]

2. Теперь нам нужно найти точки, в которых производная равна нулю или не определена. В таких точках может быть разрыв функции или экстремумы.

Уравнение для нахождения таких точек будет выглядеть следующим образом:
\[f"(x) = 0\]

Подставляем производную:
\[3x^2 = 0\]

Решаем данное уравнение:
\[x^2 = 0\]
\[x = 0\]

3. Теперь нам нужно определить поведение функции вокруг найденных точек.

a) При \(x < 0\):
Возьмем точку, к примеру, \(-1\). Подставим ее в производную функции:
\[f"(-1) = 3(-1)^2 = 3 > 0\]

Так как значение производной положительно при \(x = -1\), это означает, что функция \(f(x)\) возрастает на интервале \((-\infty, 0)\).

b) При \(x > 0\):
Возьмем точку, к примеру, \(1\). Подставим ее в производную функции:
\[f"(1) = 3(1)^2 = 3 > 0\]

Так как значение производной положительно при \(x = 1\), это означает, что функция \(f(x)\) возрастает на интервале \((0, +\infty)\).

Итак, функция \(f(x) = x^3\) возрастает на всем интервале от \(-\infty\) до \(+\infty\).

Мы можем подтвердить свое решение, дополнительно построив график функции \(f(x) = x^3\), который также показывает возрастание функции на всей числовой прямой.

Надеюсь, это помогло вам понять, как определить интервалы возрастания функции \(f(x) = x^3\) с использованием свойств функций и производных. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!