На каком интервале функция f(x)=x^3 возрастает, используя свойства функций?

Для определения интервалов возрастания функции $f(x)=x^3$, мы можем использовать свойства функций и производные. Давайте разберемся в этом.

1. Сначала найдем производную функции $f(x)$. Производная позволяет нам узнать, как меняется функция в каждой точке.
$$f"(x)=3x^2$$

2. Теперь нам нужно найти точки, в которых производная равна нулю или не определена. В таких точках может быть разрыв функции или экстремумы.

Уравнение для нахождения таких точек будет выглядеть следующим образом:
$$f"(x)=0$$

Подставляем производную:
$$3x^2=0$$

Решаем данное уравнение:
$$x^2=0$$
$$x=0$$

3. Теперь нам нужно определить поведение функции вокруг найденных точек.

a) При $x<0$:
Возьмем точку, к примеру, $-1$. Подставим ее в производную функции:
$$f"(-1)=3(-1{)}^2=3>0$$

Так как значение производной положительно при $x=-1$, это означает, что функция $f(x)$ возрастает на интервале $(-\mathrm{\infty },0)$.

b) При $x>0$:
Возьмем точку, к примеру, $1$. Подставим ее в производную функции:
$$f"(1)=3(1{)}^2=3>0$$

Так как значение производной положительно при $x=1$, это означает, что функция $f(x)$ возрастает на интервале $(0,+\mathrm{\infty })$.

Итак, функция $f(x)=x^3$ возрастает на всем интервале от $-\mathrm{\infty }$ до $+\mathrm{\infty }$.

Мы можем подтвердить свое решение, дополнительно построив график функции $f(x)=x^3$, который также показывает возрастание функции на всей числовой прямой.

Надеюсь, это помогло вам понять, как определить интервалы возрастания функции $f(x)=x^3$ с использованием свойств функций и производных. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!