Можно ли доказать, что векторы с координатами (a; b) и (-b; a) являются перпендикулярными?

Да, мы можем доказать, что векторы с координатами (a; b) и (-b; a) являются перпендикулярными.

Для начала, давайте воспользуемся определением перпендикулярности векторов. Два вектора являются перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю.

Пусть u = (a; b) и v = (-b; a) - наши векторы. Чтобы проверить, что они перпендикулярны, мы должны вычислить их скалярное произведение и убедиться, что оно равно нулю.

Скалярное произведение векторов определяется следующим образом: \( u \cdot v = a \cdot (-b) + b \cdot a \)

Раскроем это выражение: \( u \cdot v = -ab + ab = 0 \)

Вот мы и получили ноль. Это означает, что скалярное произведение векторов (a; b) и (-b; a) равно нулю.

Таким образом, мы доказали, что эти два вектора являются перпендикулярными.

Для большей ясности, давайте также посмотрим на геометрическую интерпретацию данной задачи. Вектор (a; b) представляет собой вектор на плоскости, который идет из начала координат в точку с координатами (a, b). Вектор (-b; a) также представляет собой вектор на этой плоскости, который идет из начала координат в точку с координатами (-b, a).

Если мы построим эти два вектора на графике, мы увидим, что они образуют прямой угол друг с другом, то есть они перпендикулярны.

Итак, векторы с координатами (a; b) и (-b; a) являются перпендикулярными. Это было доказано как алгебраически, так и геометрически.