Мальчик Филька, известный под прозвищем Ну Тебя , жил в Бережках со своей бабкой. Каждый час становился все более

, и Филька решил посмотреть на подсчет времени, прошедшего от начала часа. Он увидел, что часовая стрелка указывает примерно на 4, а минутная стрелка на 12. На какое количество минут с некоторой погрешностью он успел заметить, что угол между стрелками максимален?

Чтобы решить эту задачу, нам нужно найти максимальный угол между часовой и минутной стрелками.

При начале часа часовая стрелка смотрит прямо вверх, а минутная стрелка указывает на 12. По мере движения минутной стрелки она отклоняется от числа 12, а часовая стрелка также движется от исходного положения.

Давайте вычислим угол между стрелками на каждый момент времени и найдем максимальное значение:

1. В начале часа: Часовая стрелка указывает на 4, что составляет угол 120 градусов с вертикалью, а минутная стрелка указывает на 12, что составляет угол 0 градусов с вертикалью. Угол между стрелками составляет \(120 - 0 = 120\) градусов.

2. Через \(t\) минут после начала часа: Часовая стрелка будет находиться на \(\frac{t}{60} \times 360\) градусов от исходного положения, а минутная стрелка будет находиться на \(t \times 6\) градусов от исходного положения. Поэтому угол между стрелками составляет \(\frac{t}{60} \times 360 - t \times 6\) градусов.

3. Через 60 минут (конец часа): Часовая стрелка будет указывать на 8, а минутная стрелка будет находиться на 720 градусов от исходного положения. Угол между стрелками будет равен \(240 - 0 = 240\) градусов.

Для того чтобы найти максимальное значение угла, мы можем рассмотреть производную и найти точки экстремума. Однако, в данной задаче мы можем заметить, что угол начинает увеличиваться до максимального значения и затем уменьшаться, так как часовая стрелка продолжает свое движение.

Таким образом, максимальное значение угла будет достигаться в момент времени, когда разность между изменением угла часовой стрелки и изменением угла минутной стрелки будет наибольшей. Из предыдущего пункта мы получаем, что эта разность равна \(360 - 6 = 354\) градусам в минуту.

Теперь нам нужно найти момент времени, когда эта разность достигает своего максимального значения. Для этого мы можем разделить 354 на изменение угла во времени для минутной стрелки, то есть на \(6\) градусов в минуту. Получаем:

\(\frac{354}{6} = 59\) минут.

Таким образом, Филька смог заметить максимальный угол между стрелками в течение 59 минут.