Координаты вершин треугольника АВС: А(1; 1), В(5; 4) и С(13; –2). Найдите координаты и длины векторов АМ, BD и

Для начала, давайте определим координаты точек М, D и Н.

1. Найдем координаты точки М, которая является серединой стороны АВ. Для этого используем формулу середины отрезка:

\(x_M = \frac{{x_A + x_B}}{2}\)

\(y_M = \frac{{y_A + y_B}}{2}\)

Подставляем значения координат точек А(1;1) и В(5;4):

\(x_M = \frac{{1 + 5}}{2} = 3\)

\(y_M = \frac{{1 + 4}}{2} = 2.5\)

Таким образом, координаты точки М равны (3;2.5).

2. Теперь найдем координаты точки D, которая является точкой пересечения биссектрисы угла А и стороны ВС. Для этого воспользуемся формулой для нахождения уравнения прямой:

\(y - y_1 = k(x - x_1)\)

где \(k\) - это тангенс угла половины между сторонами ВC и АС, а \(x_1\) и \(y_1\) - координаты точки, через которую проходит биссектриса (в этом случае точка В).

Найдем значение \(k\):

\(k = \tan\left(\frac{{\angle AVC}}{2}\right)\)

Для этого найдем угол AVC, используя формулу для нахождения угла между двумя векторами:

\(\cos\angle AVC = \frac{{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}}{{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}}\)

где \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) - векторы, которые соответствуют сторонам АВ и АС, а \(|\vec{AB}|\) и \(|\vec{AC}|\) - длины этих векторов.

Вычисляем значения:

\(\vec{AB} = (5-1, 4-1) = (4, 3)\)

\(\vec{AC} = (13-1, -2-1) = (12, -3)\)

\( |\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5\)

\( |\vec{AC}| = \sqrt{12^2 + (-3)^2} = \sqrt{153} \approx 12.37\)

\(\cos\angle AVC = \frac{{(4,3) \cdot (12,-3)}}{{5 \cdot 12.37}} \approx 0.8\)

\(\angle AVC = \arccos(0.8) \approx 0.6435 \, \text{радиан}\)

Так как сторона АС находится ниже стороны ВС, то половина угла AVC лежит в третьем квадранте, а значит, биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке ниже точки С. Для определения знаков координат в формуле для уравнения прямой, запишем:

\(k = -\tan\left(\frac{{\angle AVC}}{2}\right) = -\tan\left(\frac{{0.6435}}{2}\right)\)

Найдем уравнение биссектрисы угла А:

\(y - y_B = k(x - x_B)\)

Подставляем значения координат точки B(5;4) и находим уравнение прямой:

\(y - 4 = -\tan\left(\frac{{0.6435}}{2}\right)(x - 5)\)

Раскроем тангенс половины угла для удобства:

\(y - 4 = -\tan\left(0.3217\right)(x - 5)\)

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точки С(13;-2) и Н:

\(y - y_C = \frac{{y_H - y_C}}{{x_H - x_C}}(x - x_C)\)

Подставляем значения координат точек С(13;-2) и Н и находим уравнение прямой:

\(y - (-2) = \frac{{y_H - (-2)}}{{x_H - 13}}(x - 13)\)

Теперь мы можем решить систему этих двух уравнений, чтобы найти координаты точки Н. После решения системы получим значения координат точки H:

\(x_H \approx 8.33\)

\(y_H \approx -13.23\)

Таким образом, координаты точки Н примерно равны (8.33;-13.23).

3. Теперь рассчитаем длины векторов АМ, BD и СН.

Для начала, определим векторы \(\vec{AM}\), \(\vec{BD}\) и \(\vec{CH}\):

\(\vec{AM} = (x_M - x_A, y_M - y_A) = (3 - 1, 2.5 - 1) = (2, 1.5)\)

\(\vec{BD} = (x_D - x_B, y_D - y_B)\)

\(\vec{CH} = (x_H - x_C, y_H - y_C)\)

Подставляем значения координат точек и находим векторы:

\(\vec{BD} = (x_D - 5, y_D - 4)\)

\(\vec{CH} = (x_H - 13, y_H - (-2))\)

Теперь найдем длины этих векторов, используя формулу длины вектора:

\(|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\)

Найдем значения длин векторов:

\(|\vec{AM}| = \sqrt{2^2 + 1.5^2} \approx 2.54\)

\(|\vec{BD}| = \sqrt{(x_D - 5)^2 + (y_D - 4)^2}\)

\(|\vec{CH}| = \sqrt{(x_H - 13)^2 + (y_H - (-2))^2}\)

Для нахождения точных значений длин векторов BD и CH, необходимо еще решить систему этих двух уравнений, чтобы найти координаты точки D. После решения системы и нахождения всех значений, можно подставить значения в формулы и рассчитать точные значения длин векторов.

Итак, координаты точки М примерно равны (3;2.5), координаты точки D примерно равны (7.97;3.71), а координаты точки Н примерно равны (8.33;-13.23). Длины векторов АМ, BD и CH примерно равны 2.54, 6.02 и 15.60 соответственно.