Когда Ваня разделил задуманное им натуральное число на 4, 5 и 9, он получил остатки. Сумма этих остатков составляет

Давайте решим данную задачу. Пусть задуманное Ваней число обозначим как \(x\). Тогда мы знаем, что \(x\) даёт остаток 1 при делении на 4, остаток 2 при делении на 5 и остаток 3 при делении на 9.

Чтобы найти остаток, получаемый числом \(x\) при делении на 15, нужно найти число, которое дает те же остатки при делении на 15, что и при делении на 4, 5 и 9.

Для этого мы можем использовать китайскую теорему об остатках. Эта теорема гласит, что если у нас есть система линейных сравнений
\[
\begin{cases}
x \equiv a_1 \pmod{m_1} \\
x \equiv a_2 \pmod{m_2} \\
\ldots \\
x \equiv a_n \pmod{m_n}
\end{cases}
\]
где \(x\) — искомое число, \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) — остатки, а \(m_1, m_2, \ldots, m_n\) — модули (числа, по которым производится деление), и если эти модули попарно взаимно просты (то есть не имеют общих делителей, кроме 1), то существует единственное решение для \(x\) в интервале от 0 до \(m_1 \cdot m_2 \cdot \ldots \cdot m_n\).

В нашем случае модули 4, 5 и 9 являются попарно взаимно простыми, поэтому мы можем использовать эту теорему.

По условию, мы знаем, что \(x \equiv 1 \pmod{4}\), \(x \equiv 2 \pmod{5}\) и \(x \equiv 3 \pmod{9}\).

Применив китайскую теорему об остатках, мы найдем число \(x\) в интервале от 0 до \(4 \cdot 5 \cdot 9 = 180\), удовлетворяющее этой системе.

Теперь перейдем к решению задачи шаг за шагом:

1. Найдем \(x \equiv 1 \pmod{4}\).
Найдем все числа в интервале от 0 до 180, которые дают остаток 1 при делении на 4:
1, 5, 9, 13, 17, 21, ...
Мы видим, что эти числа образуют арифметическую прогрессию с разностью 4.

2. Найдем \(x \equiv 2 \pmod{5}\).
Найдем все числа в интервале от 0 до 180, которые дают остаток 2 при делении на 5:
2, 7, 12, 17, 22, 27, ...
Мы видим, что эти числа также образуют арифметическую прогрессию с разностью 5.

3. Найдем \(x \equiv 3 \pmod{9}\).
Найдем все числа в интервале от 0 до 180, которые дают остаток 3 при делении на 9:
3, 12, 21, 30, ...
Эти числа образуют арифметическую прогрессию с разностью 9.

4. Найдем число, которое является общим для всех трех прогрессий.
Мы видим, что число 17 является первым числом, которое принадлежит всем трём прогрессиям.

Таким образом, наше искомое число \(x\) равно 17.

Ответ: Число, задуманное Ваней, при делении на 15, даёт остаток 17.