Какую силу нужно приложить по касательной к ободу диска, чтобы за 20 секунд увеличить угловую скорость в три раза?

Для начала давайте определим начальное значение угловой скорости диска. Пусть начальная угловая скорость равна \(\omega_0\), а новая угловая скорость, к которой нужно увеличить, равна \(\omega_1\).

Мы знаем, что угловая скорость связана с линейной скоростью и радиусом диска следующим образом:

\[v = \omega \cdot r\]

Также у нас есть формула для определения момента инерции \(I\) диска, который равен \(0.5 \cdot m \cdot r^2\), где \(m\) - масса диска, а \(r\) - его радиус.

Для изменения угловой скорости мы воспользуемся вторым законом Ньютона для вращательного движения:

\[I \cdot \alpha = \tau\]

где \(\tau\) - момент силы, а \(\alpha\) - угловое ускорение. Мы также знаем, что угловое ускорение связано с изменением угловой скорости и временем:

\[\alpha = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}\]

Теперь мы можем найти момент силы, необходимый для увеличения угловой скорости диска.

Исходя из условия, угловая скорость должна увеличиться в 3 раза за 20 секунд. То есть \(\omega_1 = 3 \cdot \omega_0\).

Теперь найдем изменение угловой скорости:

\[\Delta \omega = \omega_1 - \omega_0 = 3 \cdot \omega_0 - \omega_0 = 2 \cdot \omega_0\]

Теперь можем найти угловое ускорение:

\[\alpha = \frac{2 \cdot \omega_0}{20} = 0.1 \cdot \omega_0\]

Теперь найдем момент силы:

\[\tau = I \cdot \alpha = 0.5 \cdot m \cdot r^2 \cdot 0.1 \cdot \omega_0\]

И, наконец, работу силы за это время можно найти как произведение момента силы и углового перемещения:

\[A = \tau \cdot \theta\]

где \(\theta\) - угловое перемещение, которое равно изменению угловой скорости умножить на время:

\[\theta = \Delta \omega \cdot t\]

Теперь можно найти работу этой силы за 20 секунд:

\[A = 0.5 \cdot m \cdot r^2 \cdot 0.1 \cdot \omega_0 \cdot 2 \cdot \omega_0 \cdot 20\]

\[A = 10 \cdot m \cdot r^2 \cdot \omega_0^2\]

Подведем итог: Для увеличения угловой скорости диска в три раза за 20 секунд необходимо приложить момент силы, равный \(10 \cdot m \cdot r^2 \cdot \omega_0\) и работа этой силы за это время будет \(10 \cdot m \cdot r^2 \cdot \omega_0^2\).