Какую работу совершает сила за первую секунду движения частицы, если её масса равна m, а сила действия задана формулой

Для решения данной задачи нам потребуется использовать формулу для работы $W$, которая определяется как произведение силы $F$ на пройденное расстояние $s$:

$$W=F\cdot s$$

В нашем случае, работу, совершаемую силой за первую секунду движения частицы, нам нужно найти. Начнем с выражения для силы $F$, данного в задаче:

$$F=\beta \sqrt{v_i}$$

где $\beta$ - положительная постоянная, а $v_i$ - модуль скорости частицы.

Для определения работы нужно найти силу $F$ на протяжении первой секунды движения. Так как начальная скорость частицы $v=0$ при времени $t$, значит частица будет двигаться с нулевой начальной скоростью в первые секунды. То есть, в первую секунду, начальная скорость равна 0.

Частицы будут ускоряться, их скорость будет увеличиваться со временем. Поэтому интересующая нас сила $F$ будет меняться в течение первой секунды.

Для нахождения работы, совершаемой силой за первую секунду движения, мы должны проинтегрировать силу $F$ по времени на интервале от 0 до 1:

$$W={\int }_0^{1}Fdt$$

В нашем случае, для подсчета интеграла нам понадобится выразить силу $F$ через время $t$. Но у нас дано выражение для силы $F$ через начальную скорость $v_i$, а не через время $t$.

Чтобы решить эту проблему, мы можем воспользоваться уравнением движения для ускоренного движения:

$$v=v_i+at$$

где $v$ - скорость в момент времени $t$, $a$ - ускорение, $v_i$ - начальная скорость.

Так как у нас $v_i=0$, уравнение упрощается до:

$$v=at$$

Теперь мы можем выразить начальную скорость $v_i$ через время $t$:

$$v_i=\frac{v}{t}$$

Подставим это значение обратно в выражение для силы $F$:

$$F=\beta \sqrt{v_i}=\beta \sqrt{\frac{v}{t}}$$

Теперь у нас есть выражение для силы $F$ через время $t$. Найдем работу, проинтегрировав это выражение от 0 до 1:

$$W={\int }_0^{1}Fdt={\int }_0^1\beta \sqrt{\frac{v}{t}}dt$$

Для решения этого интеграла нам потребуется знание интегральных методов. Пожалуйста, дайте мне знать, является ли ваш класс знакомым с интегралами или если вам нужно решение с использованием других методов.