Какую работу совершает сила за первую секунду движения частицы, если её масса равна m, а сила действия задана формулой

Для решения данной задачи нам потребуется использовать формулу для работы \( W \), которая определяется как произведение силы \( F \) на пройденное расстояние \( s \):

\[ W = F \cdot s \]

В нашем случае, работу, совершаемую силой за первую секунду движения частицы, нам нужно найти. Начнем с выражения для силы \( F \), данного в задаче:

\[ F = \beta \sqrt{v_i} \]

где \( \beta \) - положительная постоянная, а \( v_i \) - модуль скорости частицы.

Для определения работы нужно найти силу \( F \) на протяжении первой секунды движения. Так как начальная скорость частицы \( v = 0 \) при времени \( t \), значит частица будет двигаться с нулевой начальной скоростью в первые секунды. То есть, в первую секунду, начальная скорость равна 0.

Частицы будут ускоряться, их скорость будет увеличиваться со временем. Поэтому интересующая нас сила \( F \) будет меняться в течение первой секунды.

Для нахождения работы, совершаемой силой за первую секунду движения, мы должны проинтегрировать силу \( F \) по времени на интервале от 0 до 1:

\[ W = \int_{0}^{1} F \, dt \]

В нашем случае, для подсчета интеграла нам понадобится выразить силу \( F \) через время \( t \). Но у нас дано выражение для силы \( F \) через начальную скорость \( v_i \), а не через время \( t \).

Чтобы решить эту проблему, мы можем воспользоваться уравнением движения для ускоренного движения:

\[ v = v_i + at \]

где \( v \) - скорость в момент времени \( t \), \( a \) - ускорение, \( v_i \) - начальная скорость.

Так как у нас \( v_i = 0 \), уравнение упрощается до:

\[ v = at \]

Теперь мы можем выразить начальную скорость \( v_i \) через время \( t \):

\[ v_i = \frac{v}{t} \]

Подставим это значение обратно в выражение для силы \( F \):

\[ F = \beta \sqrt{v_i} = \beta \sqrt{\frac{v}{t}} \]

Теперь у нас есть выражение для силы \( F \) через время \( t \). Найдем работу, проинтегрировав это выражение от 0 до 1:

\[ W = \int_{0}^{1} F \, dt = \int_{0}^{1} \beta \sqrt{\frac{v}{t}} \, dt \]

Для решения этого интеграла нам потребуется знание интегральных методов. Пожалуйста, дайте мне знать, является ли ваш класс знакомым с интегралами или если вам нужно решение с использованием других методов.