Какую минимальную скорость должен иметь электрон, чтобы преодолеть кольцо с радиусом 3 см и электрическим зарядом

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться законом сохранения механической энергии. Энергия электрона должна быть достаточной, чтобы преодолеть потенциальную энергию в электрическом поле кольца.

Потенциальная энергия электрического заряда в электрическом поле определяется формулой:

\[E_{пот} = \frac{{k \cdot q \cdot Q}}{{r}}\],

где \(E_{пот}\) - потенциальная энергия, \(k\) - постоянная Кулона (\(9 \cdot 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2\)), \(q\) - заряд электрона (\(1.6 \cdot 10^{-19} \, \text{Кл}\)), \(Q\) - заряд кольца (\(20 \cdot 10^{-9} \, \text{Кл}\)), \(r\) - расстояние от центра кольца до точки, где располагается электрон.

Минимальная скорость электрона будет достигаться в точке, где кинетическая энергия является равной потенциальной энергии:

\[E_{кин} = E_{пот}\].

Кинетическая энергия определяется формулой:

\[E_{кин} = \frac{{m \cdot v^2}}{2}\],

где \(E_{кин}\) - кинетическая энергия, \(m\) - масса электрона (\(9.1 \cdot 10^{-31} \, \text{кг}\)), \(v\) - скорость электрона.

Подставляя значения в выражения для потенциальной и кинетической энергии, получим:

\[\frac{{m \cdot v^2}}{2} = \frac{{k \cdot q \cdot Q}}{r}\].

Теперь посмотрим, какие известные значения у нас есть:

\(m = 9.1 \cdot 10^{-31}\, \text{кг}\) (масса электрона),
\(v\) (искомая скорость электрона),
\(k = 9 \cdot 10^9\, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2\) (постоянная Кулона),
\(q = 1.6 \cdot 10^{-19}\, \text{Кл}\) (заряд электрона),
\(Q = 20 \cdot 10^{-9}\, \text{Кл}\) (заряд кольца),
\(r = 3 \cdot 10^{-2}\, \text{м}\) (радиус кольца).

Теперь решим уравнение относительно \(v\):

\[\frac{{m \cdot v^2}}{2} = \frac{{k \cdot q \cdot Q}}{r}\].
\[v^2 = \frac{{2 \cdot k \cdot q \cdot Q \cdot r}}{m}\].
\[v = \sqrt{\frac{{2 \cdot k \cdot q \cdot Q \cdot r}}{m}}\].

Подставляя значения:
\[v = \sqrt{\frac{{2 \cdot 9 \cdot 10^9 \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \cdot 20 \cdot 10^{-9} \cdot 3 \cdot 10^{-2}}}{9.1 \cdot 10^{-31}}}\].
\[v \approx 1.37 \times 10^7 \, \text{м/с}\].

Таким образом, минимальная скорость электрона должна быть около \(1.37 \times 10^7 \, \text{м/с}\), чтобы преодолеть кольцо с заданными параметрами.