Какую дробь следует найти, если в числителе меньше знаменателя на 1, а если к числителю прибавить 2, а к знаменателю

Давайте начнем с определения переменных. Предположим, что неизвестная дробь равна \(\frac{x}{y}\), где \(x\) - числитель, а \(y\) - знаменатель. Теперь у нас есть два условия, которые мы можем использовать для составления уравнения.

Условие 1: "В числителе меньше знаменателя на 1". Мы можем записать это уравнение так:

\[x = y - 1\]

Условие 2: "Если к числителю прибавить 2, а к знаменателю вычесть 5, то дробь уменьшится на 0,2". Запишем это уравнение:

\[\frac{x+2}{y-5} = \frac{x}{y} - 0,2\]

Теперь у нас есть система уравнений. Давайте решим ее методом подстановки.

Выразим \(x\) из первого уравнения и подставим его во второе уравнение:

\[\frac{(y-1)+2}{y-5} = \frac{y-1}{y} - 0,2\]

Упростим выражение в числителе дроби:

\[\frac{y+1}{y-5} = \frac{y-1}{y} - 0,2\]

Теперь избавимся от знаменателя, умножив все части уравнения на \(y(y-5)\):

\(y(y-5) \cdot \frac{y+1}{y-5} = y(y-5) \cdot \left(\frac{y-1}{y} - 0,2\right)\)

После сокращения и раскрытия скобок получаем:

\(y(y+1) = y(y-5) - 0,2y(y-5) - 0,2y^2\)

Раскроем скобки и упростим выражение:

\(y^2 + y = y^2 - 5y - 0,2y^2 + y + 10 - 0,2y(y-5)\)

Упростим дальше:

\(y = - 5y - 0,2y^2 + 10 - 0,2y^2 + 1y - 5y\)

\(y = - 10y - 0,4y^2 + 10 + y\)

Перенесем все влево и упростим:

\(0 = - 11y - 0,4y^2 + 10\)

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Попробуем решить его с помощью метода дискриминанта.

Выражение имеет вид \(ay^2 + by + c = 0\), где \(a = -0,4\), \(b = -11\) и \(c = 10\).

Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\).

\(D = (-11)^2 - 4(-0,4)(10)\)

\(D = 121 - 4(-4)\)

\(D = 121 + 16\)

\(D = 137\)

Теперь нам нужно найти корни уравнения, используя формулу Квадратного Корня:

\(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

\(y_{1,2} = \frac{-(-11) \pm \sqrt{137}}{2(-0,4)}\)

\(y_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{137}}{-0,8}\)

Это дает нам два возможных значения для \(y\). Теперь мы можем подставить их в первое уравнение, чтобы найти соответствующие значения для \(x\).

Таким образом, ответ на задачу будет представлен двумя дробями: \(\frac{x_1}{y_1}\) и \(\frac{x_2}{y_2}\), где \(x_1\), \(x_2\) - числители, \(y_1\), \(y_2\) - знаменатели.