Какую длину должно иметь третье ребро другого прямоугольного параллелепипеда, имеющего общую вершину

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать два факта о параллелепипеде:

1. Площадь поверхности параллелепипеда может быть вычислена по формуле \(2(ab + bc + ac)\), где \(a\), \(b\), и \(c\) - это длины его ребер.

2. В прямоугольном параллелепипеде, все грани являются прямоугольниками, и его диагонали аппроксимируются центральной диагональю параллелепипеда, что означает, что длина ребра параллелепипеда может быть найдена с использованием теоремы Пифагора.

Давайте применим эти факты к данной задаче.

У нас есть параллелепипед с ребрами длиной 8, 7 и 3. Мы также знаем, что у другого параллелепипеда есть общая вершина с данным параллелепипедом и что у них одинаковая площадь поверхности.

1. Вычислим площадь поверхности данного параллелепипеда. Подставим значения \(a = 8\), \(b = 7\), и \(c = 3\) в формулу \(2(ab + bc + ac)\):

\[2(8 \cdot 7 + 7 \cdot 3 + 3 \cdot 8) = 2(56 + 21 + 24) = 2(101) = 202.\]

Таким образом, площадь поверхности данного параллелепипеда равна 202.

2. Найдем длину ребра третьего параллелепипеда, используя теорему Пифагора. Пусть требуемая длина ребра равна \(x\). Тогда, согласно теореме Пифагора, уравнение будет выглядеть следующим образом:

\[\sqrt{8^2 + 7^2} = \sqrt{7^2 + x^2}.\]

Решим это уравнение:

\[8^2 + 7^2 = 7^2 + x^2.\]
\[64 + 49 = 49 + x^2.\]
\[113 = 49 + x^2.\]
\[x^2 = 113 - 49 = 64.\]
\[x = \sqrt{64} = 8.\]

Таким образом, третье ребро другого параллелепипеда должно иметь длину 8.