Какую цену товара Х нужно установить, чтобы максимизировать общую полезность от потребления благ Х и У, если

Для решения данной задачи нам потребуется использовать понятие предельной полезности и цены товаров.

Предельная полезность - это изменение полезности от дополнительного потребления единицы товара. То есть, предельная полезность товара Х (MUx) показывает, насколько изменится общая полезность от увеличения потребления товара Х на одну единицу.

В данной задаче условие говорит о том, что предельная полезность товара Х (MUx) равна половине предельной полезности товара У (MUy). Также нам известна цена единицы товара У (Py) и нужно найти цену товара Х (Px).

Давайте проанализируем данную задачу и составим формулу для максимизации общей полезности.

Допустим, что у нас есть n единиц товара Х и m единиц товара У. Тогда общая полезность (U) представляет собой сумму полезностей от потребления этих товаров:

\[U = U(x,y)\]

Из условия задачи мы знаем, что предельная полезность товара Х (MUx) равна половине предельной полезности товара У (MUy):

\[MUx = \frac{1}{2} MUy\]

Мы также знаем, что предельная полезность равна производной общей полезности по потреблению данного товара:

\[MU = \frac{\partial U(x,y)}{\partial x} \quad (1)\]
\[MU = \frac{\partial U(x,y)}{\partial y} \quad (2)\]

Теперь мы можем записать предельные полезности в терминах производных:

\[MUx = \frac{\partial U(x,y)}{\partial x}\]
\[MUy = \frac{\partial U(x,y)}{\partial y}\]

Так как MUx равна половине MUy, мы можем записать:

\[\frac{\partial U(x,y)}{\partial x} = \frac{1}{2} \frac{\partial U(x,y)}{\partial y}\]

Теперь перейдем к ценам товаров. Общая стоимость (C) состоит из стоимости всех потребляемых товаров:

\[C = Px \cdot x + Py \cdot y\]

где Px - цена товара Х, а Py - цена товара У.

Для максимизации общей полезности мы должны найти оптимальное соотношение между количеством потребляемых единиц товара Х и У. Это можно сделать, равняя предельные полезности по отношению к ценам товаров:

\[\frac{MUx}{Px} = \frac{MUy}{Py}\]

Подставим формулы для предельных полезностей:

\[\frac{\partial U(x,y)/\partial x}{Px} = \frac{\frac{1}{2} \partial U(x,y)/\partial y}{Py}\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно цены товара Х (Px):

\[\frac{1}{2} \frac{\partial U(x,y)/\partial y}{Py} = \frac{\partial U(x,y)/\partial x}{Px}\]

После упрощения получаем:

\[\frac{\partial U(x,y)/\partial y}{\partial U(x,y)/\partial x} = \frac{Py}{2 \cdot Px}\]

Это уравнение связывает отношение предельных полезностей с отношением цен товаров. Если мы найдем это отношение, мы сможем определить требуемую цену товара Х (Px).

Однако, для полного решения задачи требуется знать функцию полезности (U(x, y)), чтобы найти предельные полезности и выразить отношение \(\frac{\partial U(x,y)/\partial y}{\partial U(x,y)/\partial x}\) через конкретные значения утилиты. Исходя из этого, мы могли бы рассмотреть функцию полезности Кобба-Дугласа, Квазилинейную функцию полезности или любую другую удовлетворяющую данному условию.

Поэтому, чтобы определить требуемую цену товара Х (Px) и максимизировать общую полезность от потребления товаров Х и У, нам потребуется дополнительная информация о функции полезности.