Какую амплитуду колебаний имеет металлический стержень длиной 0,2 м, закрепленный на горизонтальной оси с одним концом

Для решения данной задачи нам понадобятся формулы, связанные с гармоническими колебаниями.

Амплитуда колебаний \(A\) связана с максимальным значением гармонической силы \(F_{max}\) и жесткостью \(k\) системы следующим образом:
\[A = \frac{{F_{max}}}{{k}}\]

Циклическая частота \(\omega\) в гармонических колебаниях связана с периодом \(T\) следующим образом:
\[\omega = \frac{{2\pi}}{{T}}\]

А также имеем формулу, связывающую затухание \(\gamma\) и добротность \(Q\) системы:
\[\gamma = \omega Q\]

При заданных значениях циклической частоты \(\omega\) и затухания \(\gamma\) можно рассчитать добротность \(Q\):
\[Q = \frac{{\omega}}{{\gamma}}\]

Поскольку стержень закреплен на горизонтальной оси, можно использовать формулу жесткости пружины для вычисления жесткости \(k\) системы:
\[k = \frac{{m \cdot \omega^2}}{{A}}\]

Где \(m\) - масса стержня, \(\omega\) - циклическая частота колебаний, \(A\) - амплитуда колебаний.

Теперь, когда у нас есть все необходимые формулы, можем приступить к решению задачи:

1. Найдем жесткость \(k\) системы, подставив известные значения в формулу:
\[m = 0,4\, \text{кг}, \quad \omega = 6\, \text{рад/с}, \quad A \, - \text{неизвестная}\]
\[k = \frac{{0,4 \cdot (6)^2}}{{A}} = \frac{{14,4}}{{A}}\]

2. Теперь найдем добротность \(Q\), подставив известные значения в формулу:
\[\gamma = 1,6\, \text{рад/с}\]
\[Q = \frac{{\omega}}{{\gamma}} = \frac{{6}}{{1,6}} = 3,75\]

3. Для того чтобы найти амплитуду колебаний \(A\), подставим известные значения в формулу и решим уравнение:
\[F_{max} = 0,32\, \text{Н}\]
\[A = \frac{{F_{max}}}{{k}} = \frac{{0,32}}{{\frac{{14,4}}{{A}}}} = \frac{{0,32}}{{\frac{{14,4}}{{A}}}} \cdot \frac{{A}}{{A}} = \frac{{0,32 \cdot A}}{{14,4}}\]
\[A = \frac{{0,32 \cdot A}}{{14,4}}\]
\[14,4 \cdot A = 0,32 \cdot A\]
\[14,4 = 0,32\]
\[A = \frac{{14,4}}{{0,32}}\]
\[A = 45\, \text{мм}\]

Таким образом, металлический стержень имеет амплитуду колебаний равную 45 мм.