Какой значение радиуса описанной окружности треугольника, если его две стороны равны 2 и 3, а его площадь равна

Для решения данной задачи мы будем использовать ряд свойств треугольника.

1. Найдем площадь треугольника по формуле Герона. Пусть стороны треугольника равны \(a = 2\), \(b = 3\) и \(c\) (сторона треугольника, к которой проведена медиана). Пусть \(p\) - полупериметр треугольника, тогда \(p = \frac{{a+b+c}}{2}\). По формуле Герона площадь треугольника равна \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\).

\(p = \frac{{2 + 3 + c}}{2} = \frac{{5 + c}}{2}\)

Исходя из условия, \(S = 10\), получим:

\(10 = \sqrt{\left(\frac{{5 + c}}{2}\right)(\left(\frac{{5 + c}}{2}\right)-2)(\left(\frac{{5 + c}}{2}\right)-3)(\left(\frac{{5 + c}}{2}\right)-c)}\)

2. Далее, для нахождения медианы треугольника \(m\), которая проведена к третьей стороне, можно использовать формулу \(m = \frac{1}{2}\sqrt{(2a^2 + 2b^2 - c^2)}\). Подставим известные значения исходной задачи:

\(m = \frac{1}{2}\sqrt{(2(2^2)+2(3^2)-c^2)} = \frac{1}{2}\sqrt{(4+18-c^2)} = \frac{1}{2}\sqrt{(22-c^2)}\)

3. Третий шаг - определение условия, что медиана меньше половины третьей стороны треугольника. То есть, \(m < \frac{c}{2}\):

\(\frac{1}{2}\sqrt{(22-c^2)} < \frac{c}{2}\)

4. Теперь у нас два уравнения, и мы можем решить их методом подстановки и нахождения значения \(c\):

\(\begin{cases} 10 = \sqrt{\left(\frac{{5 + c}}{2}\right)(\left(\frac{{5 + c}}{2}\right)-2)(\left(\frac{{5 + c}}{2}\right)-3)(\left(\frac{{5 + c}}{2}\right)-c)} \\ \\ \frac{1}{2}\sqrt{(22-c^2)} < \frac{c}{2} \end{cases}\)

5. Подставим первое уравнение во второе и решим систему методом подстановки:

\(\frac{1}{2}\sqrt{(22-\left(\sqrt{\left(\frac{{5 + c}}{2}\right)(\left(\frac{{5 + c}}{2}\right)-2)(\left(\frac{{5 + c}}{2}\right)-3)(\left(\frac{{5 + c}}{2}\right)-c)}\right)^2)} < \frac{{\sqrt{\left(\frac{{5 + c}}{2}\right)(\left(\frac{{5 + c}}{2}\right)-2)(\left(\frac{{5 + c}}{2}\right)-3)(\left(\frac{{5 + c}}{2}\right)-c)}}{2}\)

\(22 - \left(\sqrt{\left(\frac{{5 + c}}{2}\right)(\left(\frac{{5 + c}}{2}\right)-2)(\left(\frac{{5 + c}}{2}\right)-3)(\left(\frac{{5 + c}}{2}\right)-c)}\right)^2 < \left(\frac{{5 + c}}{2}\right)(\left(\frac{{5 + c}}{2}\right)-2)(\left(\frac{{5 + c}}{2}\right)-3)(\left(\frac{{5 + c}}{2}\right)-c)\)

6. Теперь решим второе уравнение:

\(22 - \left(\sqrt{\left(\frac{{5 + c}}{2}\right)(\left(\frac{{5 + c}}{2}\right)-2)(\left(\frac{{5 + c}}{2}\right)-3)(\left(\frac{{5 + c}}{2}\right)-c)}\right)^2 < \left(\frac{{5 + c}}{2}\right)(\left(\frac{{5 + c}}{2}\right)-2)(\left(\frac{{5 + c}}{2}\right)-3)(\left(\frac{{5 + c}}{2}\right)-c)\)

7. Решим получившуюся систему, чтобы найти значения \(c\) или радиуса описанной окружности треугольника.