Какой закон распределения можно составить для данной случайной величины и построить многоугольник распределения

Для начала рассмотрим понятия математического ожидания и дисперсии случайной величины. Математическое ожидание \(M(X)\) представляет собой среднее значение случайной величины, тогда как дисперсия \(D(X)\) измеряет ее разброс относительно математического ожидания.

В данной задаче задано, что \(M(X) = 4\) и \(D(X) = 0.18\).

Для построения закона распределения, рассмотрим возможные значения случайной величины, которые даны нам: \(x_1 = 1\), \(x_2 = 2\), \(x_3 = 4\).

Зная, что математическое ожидание является средним значением случайной величины, и зная значения самих случайных величин, мы можем составить систему уравнений для определения вероятностей каждого значения.

Предположим, что вероятности каждого значения обозначим как \(p_1\), \(p_2\) и \(p_3\) соответственно.

С учетом того, что вероятности всех значений должны суммироваться в единицу, мы можем составить следующую систему уравнений:

\[p_1 + p_2 + p_3 = 1\]
\[1 \cdot p_1 + 2 \cdot p_2 + 4 \cdot p_3 = 4\]

Теперь решим эту систему уравнений для определения значений \(p_1\), \(p_2\) и \(p_3\).

Вычтем второе уравнение системы из первого:

\[p_1 + p_2 + p_3 - (1 \cdot p_1 + 2 \cdot p_2 + 4 \cdot p_3) = 1 - 4\]

\[-p_1 - p_2 - 3 \cdot p_3 = -3\]

Таким образом, мы получаем:

\[-3 \cdot p_3 = -3\]

\[p_3 = 1\]

Теперь подставим \(p_3 = 1\) в первое уравнение системы:

\[p_1 + p_2 + 1 = 1\]

\[p_1 + p_2 = 0\]

Так как вероятность не может быть отрицательной, получаем \(p_1 = p_2 = 0\).

Теперь у нас есть значения вероятностей для каждого значения случайной величины: \(p_1 = p_2 = 0\) и \(p_3 = 1\).

Окончательно, закон распределения для данной случайной величины будет иметь следующий вид:

\[x_1 = 1, \hspace{10pt} p_1 = 0\]
\[x_2 = 2, \hspace{10pt} p_2 = 0\]
\[x_3 = 4, \hspace{10pt} p_3 = 1\]

Теперь перейдем к построению многоугольника распределения.

Многоугольник распределения — это графическое изображение закона распределения случайной величины. По оси абсцисс откладываются значения случайной величины, а по оси ординат откладываются соответствующие значения вероятностей.

В данном случае, значения случайной величины — это \(x_1 = 1\), \(x_2 = 2\) и \(x_3 = 4\), а соответствующие значения вероятностей — \(p_1 = 0\), \(p_2 = 0\) и \(p_3 = 1\).

Так как \(p_1\) и \(p_2\) равны нулю, то многоугольник распределения будет иметь вид:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
x & p(x) \\
\hline
1 & 0 \\
\hline
2 & 0 \\
\hline
4 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]

В данном случае, вероятность значения 1 и 2 равна нулю, а вероятность значения 4 равна 1. То есть, значение 4 будет единственным возможным результатом для данной случайной величины.

Таким образом, мы составили закон распределения и построили многоугольник распределения для заданной случайной величины с помощью данных о математическом ожидании и дисперсии.