Какой является производственный оптимум, при котором достигается оптимальный выпуск продукции и количество работников

Для определения производственного оптимума, при котором достигается оптимальный выпуск продукции и количество работников, нужно найти точку максимума или минимума производственной функции. В данном случае, у нас есть производственная функция q = 72l + 15l^2 - l^3, где q - выпуск продукции, l - количество работников.

Для начала, найдем производную этой функции, чтобы найти точки экстремума. Для этого применим правило дифференцирования суммы, разности и произведения функций:

\[ q" = \frac{d}{dl}(72l + 15l^2 - l^3) = \frac{d}{dl}72l + \frac{d}{dl}15l^2 - \frac{d}{dl}l^3 = 72 + 30l - 3l^2 \]

Теперь найдем точки, где производная равна нулю, чтобы найти потенциальные точки экстремума. Решим уравнение q" = 0:

\[ 72 + 30l - 3l^2 = 0 \]

Мы получим квадратное уравнение, где мы можем использовать квадратное уравнение или методы факторизации для решения. Мы должны найти значения l, которые удовлетворяют этому уравнению.

Решая это уравнение, мы найдем два значения l: l = 0 и l = 18. Теперь, чтобы определить, является ли эта точка максимумом или минимумом, необходимо провести тест на вторую производную. Найдем вторую производную q"" и подставим найденные значения l:

\[ q"" = \frac{d^2}{dl^2}(72 + 30l - 3l^2) = \frac{d}{dl}30 - \frac{d}{dl}6l = 30 - 6(2l) = 30 - 12l \]

Подставляя значения l = 0 и l = 18 в выражение q"", мы получаем q""(0) = 30 и q""(18) = -186. Так как q""(0) > 0 и q""(18) < 0, то точка l = 0 даёт максимум, а точка l = 18 даёт минимум.

Таким образом, производственный оптимум достигается, когда количество работников равно 0 или 18. При l = 0 и l = 18 достигается оптимальный выпуск продукции, который может быть найден подставлением этих значений в производственную функцию q = 72l + 15l^2 - l^3.

Проверим это, подставив l = 0 в производственную функцию: q(0) = 72(0) + 15(0)^2 - (0)^3 = 0
Теперь, подставим l = 18: q(18) = 72(18) + 15(18)^2 - (18)^3 = 1296

Таким образом, при l = 0, производственный выпуск равен 0, а при l = 18, производственный выпуск равен 1296.

Итак, производственный оптимум состоит в том, что достигается максимальный выпуск продукции (q = 1296) при l = 18 работниках или минимальный выпуск продукции (q = 0) при l = 0 работниках.