Какой временной интервал требуется Сатурну для полного обращения вокруг Солнца, если его орбита имеет большую полуось

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о кеплеровых законах и формулах, связывающих период обращения планеты вокруг Солнца с её орбитой.

Первый кеплеров закон гласит, что планета движется по эллиптической орбите, где Солнце находится в одном из фокусов эллипса. В данной задаче у нас дана большая полуось орбиты Сатурна, которую мы обозначим как \(a = 9,5\) астрономических единиц (АЕ).

Второй кеплеров закон утверждает, что радиус-вектор, проведенный из Солнца к планете, сканирует равные площади за равные промежутки времени. Это означает, что планета движется быстрее ближе к Солнцу и медленнее дальше от него.

Третий кеплеров закон формализует зависимость между периодом обращения планеты вокруг Солнца и её большой полуосью орбиты. Формула для нахождения периода обращения выглядит следующим образом:

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{G(M + m)}}\]

Где:
- \(T\) - период обращения планеты вокруг Солнца,
- \(a\) - большая полуось орбиты планеты,
- \(G\) - гравитационная постоянная (\(G \approx 6,67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2}\)),
- \(M\) - масса Солнца (\(M \approx 1,989 \times 10^{30} \, \text{кг}\)),
- \(m\) - масса планеты (в данной задаче речь идет о Сатурне, поэтому \(m \approx 5,6834 \times 10^{26} \, \text{кг}\)).

Подставив известные значения в формулу, получим:

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{(9,5)^3}{6,67430 \times 10^{-11} \cdot (1,989 \times 10^{30} + 5,6834 \times 10^{26})}}\]

Вычислив данное выражение, получим временной интервал, требуемый Сатурну для полного обращения вокруг Солнца.