Какой угол образуют векторы – mn и – 1/2m?

Для решения данной задачи нам понадобится понимание понятия скалярного произведения векторов. Скалярное произведение двух векторов равно произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Итак, дано два вектора: \( \overrightarrow{mn} \) и \( -\frac{1}{2}\overrightarrow{m} \).

Для начала, рассчитаем модули векторов. Модуль вектора вычисляется по формуле \( |\overrightarrow{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} \), где \( v_x, v_y, v_z \) - компоненты вектора. После вычисления получим:

Модуль \(\overrightarrow{mn}\):
\(|\overrightarrow{mn}| = \sqrt{m_x^2 + n_x^2 + m_y^2 + n_y^2 + m_z^2 + n_z^2}\)

Модуль \(-\frac{1}{2}\overrightarrow{m}\):
\(|-\frac{1}{2}\overrightarrow{m}| = \frac{1}{2}\sqrt{m_x^2 + m_y^2 + m_z^2}\)

Теперь найдем скалярное произведение этих векторов. Скалярное произведение двух векторов \( \overrightarrow{a} \) и \( \overrightarrow{b} \) вычисляется по формуле \( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos{\alpha} \), где \( \alpha \) - угол между векторами.

Поэтому, для вычисления значения скалярного произведения, нам необходимо узнать значения модулей векторов \( \overrightarrow{mn} \) и \( -\frac{1}{2}\overrightarrow{m} \).

Подставим значения модулей в формулу скалярного произведения:

\( \overrightarrow{mn} \cdot -\frac{1}{2}\overrightarrow{m} = |\overrightarrow{mn}| \cdot |\frac{-1}{2}\overrightarrow{m}| \cdot \cos{\alpha} \)

Также учтите, что угол между векторами может быть острый, прямой или тупой. В данной задаче требуется найти угол, поэтому рассмотрите все возможные варианты и выберите наименьший из них.

Расчеты показывают, что исправить вектора на вектор \( \overrightarrow{mn} \) и вектор \( \frac{-1}{2}\overrightarrow{m} \).

Шаг 1: Вычисление модуля вектора \( \overrightarrow{mn} \):
\( |\overrightarrow{mn}| = \sqrt{m^2 + n^2} \)

Шаг 2: Вычисление модуля вектора \( \frac{-1}{2}\overrightarrow{m} \):
\( |\frac{-1}{2}\overrightarrow{m}| = \frac{1}{2}\sqrt{m^2} \)

Шаг 3: Вычисление значений скалярного произведения для острого, прямого и тупого углов:
- Острый угол (\( \alpha_1 \)): \( \cos{\alpha_1} = \frac{\overrightarrow{mn} \cdot \frac{-1}{2}\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{mn}| \cdot |\frac{-1}{2}\overrightarrow{m}|} \), где \( \alpha_1 \) - угол в радианах.
- Прямой угол (\( \alpha_2 \)): \( \cos{\alpha_2} = \frac{\overrightarrow{mn} \cdot \frac{-1}{2}\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{mn}| \cdot |\frac{-1}{2}\overrightarrow{m}|} \), где \( \alpha_2 \) - угол в радианах.
- Тупой угол (\( \alpha_3 \)): \( \cos{\alpha_3} = \frac{\overrightarrow{mn} \cdot \frac{-1}{2}\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{mn}| \cdot |\frac{-1}{2}\overrightarrow{m}|} \), где \( \alpha_3 \) - угол в радианах.

Исходя из полученных значений углов, определите наименьший из них и именно его можно считать ответом на поставленный вопрос.

Предоставленное пошаговое решение позволяет ученикам лучше понять процесс решения задачи и глубже вникнуть в математические концепции, связанные с векторами и углами между ними.