Какой угол образуют плоскости ASD и ABC в квадрате ABCD, где O - точка пересечения диагоналей, а S - точка, не лежащая

Для решения этой задачи, давайте начнем с определения угла между плоскостями. Угол между двумя плоскостями определяется как наименьший угол между их нормальными векторами.

Для начала, давайте найдем нормальные векторы обеих плоскостей. В плоскости ASD нормальный вектор будет нормаль к плоскости со значением координат (1, 0, 1). В плоскости ABC нормальный вектор также будет нормаль к плоскости и имеет значение координат (0, 1, 0).

Теперь нам нужно найти угол между этими векторами. Для этого мы можем использовать формулу скалярного произведения векторов:

\[
\cos{\theta} = \frac{{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}}{{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|}}
\]

где \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) - наши нормальные векторы, а \(\theta\) - искомый угол между плоскостями.

Теперь подставим значения в формулу. Нормализуем векторы (чтобы получить их единичную длину) и найдем скалярное произведение:

\[
|\mathbf{a}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}
\]
\[
|\mathbf{b}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1
\]
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1 \cdot 0) + (0 \cdot 1) + (1 \cdot 0) = 0
\]

Теперь подставим эти значения в формулу угла:

\[
\cos{\theta} = \frac{0}{\sqrt{2} \cdot 1} = 0
\]

Нам известно, что косинус угла равен 0, когда угол равен 90 градусам. Таким образом, угол между плоскостями ASD и ABC в квадрате ABCD равен 90 градусам.

Подведем итоги:
Угол между плоскостями ASD и ABC в квадрате ABCD равен 90 градусам.