Какой тип четырехугольника, если его вершины являются серединами сторон, а диагонали перпендикулярны?

Чтобы определить тип четырехугольника с заданными условиями, давайте рассмотрим его свойства.

Мы знаем, что вершины четырехугольника являются серединами сторон, а его диагонали перпендикулярны.

Пусть AB, BC, CD и DA - стороны четырехугольника. Пусть E и F - середины сторон AD и BC соответственно. Пусть M - точка пересечения диагоналей AC и BD.

Так как E и F являются серединами сторон AD и BC соответственно, то EF || AB || CD (по свойству параллельных прямых, проходящих через середины сторон). Пусть точки P и Q - середины сторон AB и CD соответственно. Тогда, по свойству параллелограмма, должны выполняться следующие соотношения: AE = ED, BF = FC, AM = MC и BM = MD.

Так как диагонали перпендикулярны, то AM ⊥ BM и CM ⊥ DM, значит, треугольники AMB и CMD прямоугольные.

Теперь давайте рассмотрим треугольник AMB. Мы знаем, что AM ⊥ BM, а также BF = FC (по свойству серединных перпендикуляров). Тогда треугольник AMB - прямоугольный равнобедренный треугольник, так как AM = MC (по свойству серединных перпендикуляров) и BM = MD. Аналогично, треугольник CMD также является прямоугольным равнобедренным треугольником.

Таким образом, у нас есть два прямоугольных равнобедренных треугольника AMB и CMD в четырехугольнике. Но чтобы определить точный тип четырехугольника, нам нужно узнать, являются ли эти треугольники равными.

Для этого докажем равенство треугольников AMB и CMD. Мы уже знаем, что AM = MC, BM = MD и AM ⊥ BM, CM ⊥ DM. Но мы также можем доказать, что угол AMB = угол CMD. Так как EF || AB || CD, то угол AMB = угол AME = угол CMD, так как E, M и D лежат на одной прямой. Также можно доказать, что угол MAB = угол MDC.

Таким образом, треугольники AMB и CMD являются равными, так как у них равные стороны и равные углы. Из равенства треугольников следует, что четырехугольник ABCD - ромб (ровносторонний и равноугольный четырехугольник).

Итак, ответ: если вершины четырехугольника являются серединами сторон, а диагонали перпендикулярны, то этот четырехугольник является ромбом.