Какой синус имеет угол между прямой AB и плоскостью, если через сторону AM правильного треугольника AMB проведена

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой для нахождения синуса угла между прямой и плоскостью. Формула имеет вид:

\[\sin{\theta} = \frac{{|\mathbf{N} \cdot \mathbf{V}|}}{{|\mathbf{N}||\mathbf{V}|}}\]

где \(\theta\) - угол между прямой и плоскостью, \(\mathbf{N}\) - нормальный вектор плоскости, проведенный через точку, принадлежащую прямой, \(\mathbf{V}\) - направляющий вектор прямой.

В задаче дано, что прямая AB и плоскость образуют угол, а также дано, что прямая AB основана на стороне AM правильного треугольника AMB. Пусть \(\mathbf{N_1}\) и \(\mathbf{N_2}\) - нормальные векторы плоскостей, образованных сторонами AM и MB соответственно. Тогда \(\mathbf{N}\) - проекция вектора \(\mathbf{N_1}\) на плоскость, образованную стороной MB. Подобным образом, пусть \(\mathbf{V_1}\) и \(\mathbf{V_2}\) - направляющие векторы прямых AM и MB соответственно, и \(\mathbf{V}\) - проекция вектора \(\mathbf{V_1}\) на плоскость, образованную стороной MB.

Теперь нам нужно найти значения векторов \(\mathbf{N}\) и \(\mathbf{V}\).

Так как AMB - правильный треугольник, все его стороны равны. Пусть длина его стороны равна \(a\). Тогда вектор \(\mathbf{N_1}\) можно представить как \((0, a, -\frac{{a}}{{2}})\) (направлен от вершины M к точке на стороне AB) и вектор \(\mathbf{V_1}\) можно представить как \((a, a, 0)\) (направлен от вершины A к вершине M).

Теперь мы можем найти проекции \(\mathbf{N}\) и \(\mathbf{V}\). Для этого воспользуемся формулой проекции вектора \(\mathbf{u}\) на вектор \(\mathbf{v}\):

\[\text{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u} = \frac{{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}}{{|\mathbf{v}|^2}} \mathbf{v}\]

Проекция вектора \(\mathbf{N_1}\) на плоскость MB равна:

\[\mathbf{N} = \text{proj}_{\mathbf{V_2}}\mathbf{N_1} = \frac{{\mathbf{N_1} \cdot \mathbf{V_2}}}{{|\mathbf{V_2}|^2}} \mathbf{V_2}\]

Подставляя значения векторов \(\mathbf{N_1}\) и \(\mathbf{V_2}\) в формулу, получим:

\[\mathbf{N} = \frac{{(0, a, -\frac{{a}}{{2}}) \cdot (a, a, 0)}}{{|\mathbf{V_2}|^2}} (a, 0, 0)\]

Вычислим скалярное произведение и знаменатель:

\[\mathbf{N} = \frac{{-a^2}}{{2a^2}} (a, 0, 0) = \left(-\frac{{a}}{{2}}, 0, 0\right)\]

Теперь найдем вектор \(\mathbf{V}\). Проекция вектора \(\mathbf{V_1}\) на плоскость MB равна:

\[\mathbf{V} = \text{proj}_{\mathbf{V_2}}\mathbf{V_1} = \frac{{\mathbf{V_1} \cdot \mathbf{V_2}}}{{|\mathbf{V_2}|^2}} \mathbf{V_2}\]

Подставляя значения векторов \(\mathbf{V_1}\) и \(\mathbf{V_2}\) в формулу, получим:

\[\mathbf{V} = \frac{{(a, a, 0) \cdot (a, a, 0)}}{{|\mathbf{V_2}|^2}} (a, 0, 0)\]

Вычислим скалярное произведение и знаменатель:

\[\mathbf{V} = \frac{{a^2}}{{2a^2}} (a, 0, 0) = \left(\frac{{a}}{{2}}, 0, 0\right)\]

Теперь, когда у нас есть значения векторов \(\mathbf{N}\) и \(\mathbf{V}\), мы можем вычислить синус угла \(\theta\) между прямой AB и плоскостью, используя формулу синуса:

\[\sin{\theta} = \frac{{|\mathbf{N} \cdot \mathbf{V}|}}{{|\mathbf{N}||\mathbf{V}|}}\]

Подставляя значения векторов \(\mathbf{N}\) и \(\mathbf{V}\) в формулу, получим:

\[\sin{\theta} = \frac{{\left|\left(-\frac{{a}}{{2}}\right) \cdot \left(\frac{{a}}{{2}}\right)\right|}}{{\left|\left(-\frac{{a}}{{2}}\right)\right|\left|\left(\frac{{a}}{{2}}\right)\right|}}\]

Вычислим числитель и знаменатель:

\[\sin{\theta} = \frac{{\left|\left(-\frac{{a}}{{2}}\right) \cdot \left(\frac{{a}}{{2}}\right)\right|}}{{\left|\left(-\frac{{a}}{{2}}\right)\right|\left|\left(\frac{{a}}{{2}}\right)\right|}} = \frac{{\frac{{a^2}}{{4}}}}{{\frac{{a}}{{2}} \cdot \frac{{a}}{{2}}}} = \frac{{a^2}}{{4}} \cdot \frac{{4}}{{a^2}} = 1\]

Таким образом, синус угла \(\theta\) между прямой AB и плоскостью равен 1. Ответ на задачу: б) 1/4.