Какой размер имеет высота прямоугольной трапеции, если окружность, вписанная в эту трапецию, делит большую боковую

При описываемой в задаче ситуации мы имеем следующую схему:

\[
\begin{array}{cccccc}
& A & \bullet & B & \bullet & C \\
& \updownarrow & & \updownarrow & & \updownarrow \\
& D & \bullet & E & \bullet & F \\
\end{array}
\]

Так как окружность вписанная в трапецию, то отрезки \(\overline{AB}\) и \(\overline{CD}\) являются диаметрами окружности, а следовательно, прямыми, проведенными через точки \(B\) и \(D\), можно провести радиусы окружности, которые будут перпендикулярны сторонам трапеции.

Так как большая боковая сторона трапеции, то есть отрезок \(\overline{AD}\), разделена окружностью на два отрезка и одной точкой пересечения с данной стороной, то отрезки \(\overline{BD}\) и \(\overline{DE}\) будут равными, так как они являются радиусами окружности.

Из условия задачи известно, что длина отрезка \(\overline{DE}\) равна 4 см. Так как \(\overline{DE} = \overline{BD}\), то и отрезок \(\overline{BD}\) также равен 4 см.

Обозначим высоту трапеции как \(h\) (исходя из условия задачи, высота перпендикулярна большей основе трапеции).

Теперь заметим, что по теореме Пифагора в равнобедренной трапеции \(ABCD\) с высотой \(h\), основаниями \(\overline{AD}\) и \(\overline{BC}\), и основаниями боковыми сторонами \(\overline{AB}\) и \(\overline{CD}\), справедливо следующее равенство:

\[
\overline{BD}^2 + h^2 = \overline{AB}^2
\]

Подставляя значения \(\overline{BD} = 4 \, \text{см}\) и \(\overline{AB} = 2 \cdot \overline{BD} = 2 \cdot 4 \, \text{см} = 8 \, \text{см}\) в данное равенство, получим:

\[
4^2 + h^2 = 8^2
\]

Вычислим:

\[
h^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48
\]

Отсюда:

\[
h = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot \sqrt{3} \, \text{см}
\]

Таким образом, высота прямоугольной трапеции равна \(4 \cdot \sqrt{3}\) см.

Надеюсь, этот ответ ясно объясняет, каким образом было получено решение данной задачи. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать!