Какой радиус у шара, полученного путем объединения 125 одинаковых шариков диаметром 9 см? Варианты ответов: 12.8; 25.2

Для решения этой задачи нам понадобится знание объёма сферы и её радиуса. Объём сферы можно вычислить по формуле:

\[V = \frac{4}{3} \pi r^3\]

где \(V\) - объём, \(\pi\) - математическая константа, приближённое значение которой составляет около 3.14159, \(r\) - радиус сферы.

Мы хотим узнать радиус \(r\), поэтому нам нужно перейти от объёма к радиусу. Для этого перепишем формулу объёма сферы следующим образом:

\[r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4 \pi}}\]

Теперь мы можем приступить к решению задачи. Сначала вычислим объём шара, полученного путем объединения 125 одинаковых шариков диаметром 9 см:

Объём одного шарика можно вычислить, зная его диаметр \(d\), по формуле:

\[V_{\text{шарика}} = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{d}{2}\right)^3\]

Подставим в эту формулу значение диаметра \(d = 9\) см:

\[V_{\text{шарика}} = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{9}{2}\right)^3\]

Теперь найдём объём шара, полученного путем объединения 125 одинаковых шариков:

\[V_{\text{шара}} = 125 \cdot V_{\text{шарика}}\]

Подставим в эту формулу значение \(V_{\text{шарика}}\), которое мы только что вычислили:

\[V_{\text{шара}} = 125 \cdot \frac{4}{3} \pi \left(\frac{9}{2}\right)^3\]

Теперь вычислим значение \(r\), подставив найденный объём \(V_{\text{шара}}\) в формулу для радиуса:

\[r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot V_{\text{шара}}}{4 \pi}}\]

Подставим в эту формулу значение \(V_{\text{шара}}\), которое мы только что вычислили:

\[r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 125 \cdot \frac{4}{3} \pi \left(\frac{9}{2}\right)^3}{4 \pi}}\]

Теперь осталось только вычислить это выражение:

\[r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 125 \cdot 4 \cdot \pi \cdot \frac{9^3}{2^3}}{4 \pi}}\]

\[r = \sqrt[3]{125 \cdot 9^3 \cdot \frac{1}{2^3}}\]

\[r = \sqrt[3]{125 \cdot 729 \cdot \frac{1}{8}}\]

\[r = \sqrt[3]{125 \cdot 729 \cdot 0.125}\]

\[r = \sqrt[3]{729 \cdot 125 \cdot 0.125}\]

\[r = \sqrt[3]{729 \cdot 15.625}\]

\[r = \sqrt[3]{11340.375}\]

Теперь вычислим этот кубический корень:

\[r \approx 22.5\]

Таким образом, радиус шара, полученного путем объединения 125 одинаковых шариков диаметром 9 см, примерно равен 22.5 см. Так что правильный вариант ответа - 22.5.