Какой радиус окружности проходит через вершину квадрата, середину одной из его сторон, не проходящей через эту вершину

Давайте решим данную задачу пошагово.

1. Пусть сторона квадрата имеет длину \(a\).

2. Заметим, что окружность, проходящая через вершину квадрата и ее середину, должна иметь радиус, равный половине диагонали квадрата. Это следует из свойства окружности, что радиус, проведенный к середине хорды, перпендикулярен этой хорде и делит ее пополам. Диагональ квадрата является хордой, проходящей через его середину и вершину, поэтому радиус окружности будет перпендикулярен диагонали и делить ее пополам.

3. Длина диагонали квадрата может быть найдена с помощью теоремы Пифагора. Если сторона квадрата равна \(a\), то длина его диагонали равна \(\sqrt{2}a\). Действительно, по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике с катетами, равными стороне квадрата, гипотенуза (диагональ) будет равна \(\sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = \sqrt{2}a\).

4. Теперь, чтобы найти радиус окружности, проходящей через вершину, середину одной из сторон и центр квадрата, нам нужно найти половину длины диагонали. То есть, радиус окружности будет равен \(\frac{1}{2}\) от длины диагонали квадрата.

5. Заменяем длину диагонали значением \(\sqrt{2}a\) из второго шага. Тогда радиус окружности будет \(\frac{1}{2}\sqrt{2}a\).

6. Итак, радиус окружности, проходящей через вершину квадрата, середину одной из его сторон, не проходящей через эту вершину, и центр квадрата при стороне квадрата длиной \(a\), равен \(\frac{1}{2}\sqrt{2}a\).

Мы получили ответ и описали решение задачи с пояснениями каждого шага.