Какой радиус окружности используется для поворота ракеты массой 5 тонн, летящей в глубоком космосе со скоростью 6 км/с

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать законы сохранения количества движения. Когда боковой реактивный двигатель включен, ракета будет тратить топливо, создавая реактивную струю, которая будет двигать ее в противоположном направлении. Когда реактивная струя вылетает из двигателя, она создает импульс, который будет изменять движение ракеты.

Общая формула для сохранения количества движения:
$m_1\cdot v_1+m_2\cdot v_2=(m_1+m_2)\cdot v"$
где
$m_1$ - масса ракеты,
$v_1$ - скорость ракеты до включения двигателя,
$m_2$ - масса выброшенного топлива,
$v_2$ - скорость выброса топлива,
$v"$ - скорость ракеты после включения двигателя.

Мы знаем массу ракеты ($m_1=5$ тонн), скорость ракеты до включения двигателя ($v_1=6$ км/с), скорость выброса топлива ($v_2=2$ км/с) и расход топлива ($10$ кг/c).

Для начала, мы должны найти скорость ракеты после включения двигателя ($v"$).

Используя законы сохранения количества движения, мы можем записать:
$m_1\cdot v_1=(m_1+m_2)\cdot v"$

Распишем $m_1+m_2$ подставляя значения:
$5\text{т}\cdot 6\text{км/с}=(5\text{т}+10\text{кг/с}\cdot t)\cdot v"$

где $t$ - время работы двигателя.

Масса выброшенного топлива равняется расходу топлива ($10$ кг/с) умноженному на время работы двигателя ($t$):
$m_2=10\text{кг/с}\cdot t$

Подставляем $m_2$ в уравнение:
$5\text{т}\cdot 6\text{км/с}=(5\text{т}+10\text{кг/с}\cdot t)\cdot v"$

Решая это уравнение относительно $v"$, получим:
$v"=\frac{5\text{т}\cdot 6\text{км/с}}{5\text{т}+10\text{кг/с}\cdot t}$

Когда все значения известны, вы сможете вычислить $v"$ и далее использовать его для определения радиуса окружности.

Таким образом, для решения задачи о радиусе окружности, требуется знать значение $v"$ после включения двигателя. Когда данное значение будет известно, мы сможем использовать формулу для центростремительного ускорения ($a_c$) и радиуса окружности ($r$):
$$a_c=\frac{v{"}^2}{r}$$

Дано $a_c=9.81$ м/с2 (ускорение свободного падения на Земле). Подставляя это значение в формулу и решая ее относительно $r$, получим:
$$r=\frac{v{"}^2}{a_c}$$

Таким образом, радиус окружности в данной задаче будет равен:
$$r=\frac{{\left(\frac{5\text{т}\cdot 6\text{км/с}}{5\text{т}+10\text{кг/с}\cdot t}\right)}^2}{9.81}$$

Пожалуйста, учтите, что для получения конкретного числового ответа, нам необходимо знать значение времени работы двигателя $t$.