Какой объем закупки фактора, необходимый для максимизации прибыли у монополиста с функцией спроса на свою продукцию

Для решения данной задачи о максимизации прибыли у монополиста, нам необходимо найти оптимальное значение объема закупки фактора производства (f), чтобы достичь максимальной прибыли.
Для начала, нам нужно выразить цену продукции (p) через объем производства (q), используя данную функцию спроса:
\[ p = 85 - 3q \]
Далее, используя производственную функцию:
\[ q = 2f - 2 \]
Теперь мы можем выразить цену продукции (p) через объем закупки фактора производства (f):
\[ p = 85 - 3(2f-2) \]
Распределим умножение:
\[ p = 85 - 6f + 6 \]
Приведем к более простому виду:
\[ p = 91 - 6f \]
Теперь, чтобы найти максимальную прибыль, нам необходимо найти значению объема закупки фактора (f), при котором производная функции прибыли (П) будет равна нулю.
Производная функции прибыли:
\[ P = p \cdot q - f \]
Производная функции прибыли:
\[ \frac{dP}{df} = (91 - 6f)(2f - 2) - 1 \]
Уравнение прибыли:
\[ 0 = (91 - 6f)(2f - 2) - 1 \]
Далее, решим данное уравнение прибыли для значения объема закупки фактора (f).
\[ 0 = (182f - 182 - 12f^2 + 12f) - 1 \]
Приведем уравнение к виду:
\[ 0 = -12f^2 + 194f - 183 \]
Получилось квадратное уравнение. Решение данного уравнения позволит найти оптимальное значение объема закупки фактора (f).
Решим квадратное уравнение, используя дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (194)^2 - 4(-12)(-183) \]
\[ D = 37636 - 8784 = 28852 \]
\[ \sqrt{D} = \sqrt{28852} \approx 169.86 \]
Теперь найдем значения фактора (f):
\[ f = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-194 \pm 169.86}{2(-12)} \]
\[ f_1 = \frac{-194 + 169.86}{2(-12)} \approx 1.43 \]
\[ f_2 = \frac{-194 - 169.86}{2(-12)} \approx -13.07 \]
Поскольку у фактора производства не может быть отрицательного значения, мы отбрасываем значение \( f_2 \). Окончательное значение фактора (f) составляет примерно 1.43.
Таким образом, чтобы максимизировать прибыль, монополист должен закупить примерно 1.43 единицы ресурса производства (f).