Какой нужно задать начальную скорость мячу, брошенному с высоты 3,55 м, чтобы после удара о землю он подпрыгнул

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать законы сохранения импульса и энергии.

Шаг 1: Первым делом определим, какую скорость мяч имеет перед ударом о землю. Для этого воспользуемся законом сохранения энергии. Переведём высоты в метры: \(h_1 = 3.55 \, \text{м}\) и \(h_2 = 2.7 \, \text{м}\).

Мы можем применить следующую формулу для потенциальной энергии гравитационного поля:

\[E_{\text{п}} = m \cdot g \cdot h,\]

где \(E_{\text{п}}\) - потенциальная энергия, \(m\) - масса мяча, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h\) - высота.

Таким образом, получим уравнение:

\[m \cdot g \cdot h_1 = \frac{1}{2} m v^2,\]

где \(v\) - скорость мяча перед ударом о землю.

Шаг 2: Теперь оценим, какая скорость мяча будет после удара о землю, учитывая, что модуль импульса уменьшается на 25%. Из закона сохранения импульса:

\[p_1 = - p_2,\]

где \(p_1 = m \cdot v\) - импульс мяча перед ударом о землю, \(p_2\) - импульс мяча после удара о землю.

Тогда:

\[m \cdot v = - \left(0.75 \cdot m \cdot v_2\right),\]

где \(v_2\) - скорость мяча после удара.

Шаг 3: Теперь, зная скорость после удара, мы можем определить, какую начальную скорость \(v\) нужно задать мячу перед ударом о землю. Для этого воспользуемся снова законом сохранения энергии и учтём, что высота мяча после удара равна \(h_2\).

Аналогично первому шагу, получаем уравнение:

\[m \cdot g \cdot h_2 = \frac{1}{2} m v^2_2.\]

Теперь мы можем найти ответ.

Выразим из первого уравнения \(v\) и подставим его во второе уравнение:

\[\frac{1}{2} m \left(\frac{mg \cdot h_1}{m} \right)^2 = m \cdot g \cdot h_2.\]

Произведем сокращения:

\[\frac{1}{2} \left(g \cdot h_1\right)^2 = g \cdot h_2.\]

Тогда выразим начальную скорость \(v\) через значения высот \(h_1\) и \(h_2\):

\[v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h_2}.\]

Подставим изначальные значения \(g = 9.8 \, \text{м}/\text{с}^2\), \(h_1 = 3.55 \, \text{м}\) и \(h_2 = 2.7 \, \text{м}\) и найдем результат.

\[v = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 2.7} \approx \sqrt{52.92} \approx 7.27 \, \text{м/с}.\]

Ответ: Необходимо задать начальную скорость мячу, брошенному с высоты 3,55 м, равной примерно 7,27 м/с, чтобы после удара о землю он подпрыгнул на высоту 2,7 м, при условии, что модуль импульса уменьшается на 25%.

Он упадет с высоты 3.55 м с некоторой начальной скоростью \(v\) и воследствие удара подпрыгнет на высоту 2.7 м. При этом изменится направление движения и мяч после удара будет иметь скорость \(v_2\) в противоположном направлении. Учитывая, что модуль импульса уменьшается на 25%, скорость после удара будет составлять 75% от начальной скорости перед ударом. Получаем выражение \(v = 0.75 \cdot v_2\).

Таким образом, чтобы решить задачу, мы использовали законы сохранения импульса и энергии, а также основные формулы кинематики.