Какой модуль вектора индукции магнитного поля, создаваемого двумя параллельными прямыми горизонтальными проводами

Для решения задачи о модуле вектора индукции магнитного поля, создаваемого двумя параллельными прямыми горизонтальными проводами, проходящими через две вершины вертикально расположенного прямоугольного равнобедренного треугольника, нам понадобятся законы электромагнетизма.

По закону Био-Савара-Лапласа, магнитное поле, создаваемое током \(I\) в элементе проводника длиной \(dl\), в точке, находящейся на расстоянии \(r\) от этого элемента, определяется формулой:

\[d\vec{B} = \frac{{\mu_0I}}{{4\pi}} \cdot \frac{{d\vec{l} \times \vec{r}}}{{r^3}}\]

где \(\mu_0\) - магнитная постоянная (\(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \thinspace \text{Тл} \cdot \text{м/А}\)), \(\times\) - векторное произведение, \(\vec{l}\) - вектор элемента длиной, направленный по току через элемент, \(\vec{r}\) - вектор, направленный от элемента проводника до точки, в которой мы хотим найти магнитное поле, а \(r\) - модуль вектора \(\vec{r}\).

Для определения модуля вектора индукции магнитного поля необходимо проинтегрировать выражение \(d\vec{B}\) по всем элементам проводника.

В данной задаче у нас имеются два горизонтальных провода, проложенных через вершины равнобедренного прямоугольного треугольника. Рассмотрим провода по отдельности.

Провод 1: Провод 1 проходит через вершину М прямого угла треугольника. Если провод 1 направлен вдоль оси ОХ в положительном направлении, то длина элемента \(dl_1\) буде равна \(d\), а ток \(I_1\) равен 3 А.

Провод 2: Провод 2 проходит через вершину N прямого угла треугольника. Если провод 2 направлен вдоль оси ОУ в положительном направлении, то длина элемента \(dl_2\) буде равна \(d\), а ток \(I_2\) равен 4 А.

Рассмотрим первый провод. Найдем векторное поле элемента провода \(d\vec{B_1}\), создаваемое им в точке M.

Пусть элемент провода находится в точке с координатами \((x, 0, z)\), тогда вектор \(\vec{r}\) будет равен \((x, 0, z)\), а его модуль \(r\) можно найти по теореме Пифагора:

\[r = \sqrt{x^2 + z^2}\]

А вектор элемента провода \(d\vec{l_1}\) будет направлен по оси ОХ, т.е. \(d\vec{l_1} = (dl_1, 0, 0)\).

Тогда, подставив значения в формулу, получим:

\[d\vec{B_1} = \frac{{\mu_0I_1}}{{4\pi}} \cdot \frac{{(dl_1, 0, 0) \times (x, 0, z)}}{{(x^2 + z^2)^{3/2}}}\]

Выполним векторное произведение:

\[d\vec{B_1} = \frac{{\mu_0I_1}}{{4\pi}} \cdot \frac{{(0, dl_1z, -dl_1x)}}{{(x^2 + z^2)^{3/2}}}\]

Теперь рассмотрим второй провод. Аналогично, найдем векторное поле элемента провода \(d\vec{B_2}\), создаваемое им в точке M.

Пусть элемент провода находится в точке с координатами \((0, y, z)\), тогда вектор \(\vec{r}\) будет равен \((0, y, z)\), а его модуль \(r\) можно найти по теореме Пифагора:

\[r = \sqrt{y^2 + z^2}\]

А вектор элемента провода \(d\vec{l_2}\) будет направлен по оси ОУ, т.е. \(d\vec{l_2} = (0, dl_2, 0)\).

Тогда, подставив значения в формулу, получим:

\[d\vec{B_2} = \frac{{\mu_0I_2}}{{4\pi}} \cdot \frac{{(0, dl_2z, -dl_2y)}}{{(y^2 + z^2)^{3/2}}}\]

Выполним векторное произведение:

\[d\vec{B_2} = \frac{{\mu_0I_2}}{{4\pi}} \cdot \frac{{(0, dl_2z, -dl_2y)}}{{(y^2 + z^2)^{3/2}}}\]

Так как провода параллельны и находятся на одной высоте, то мы можем сложить векторные поля элементов проводов:

\[\vec{B} = \vec{B_1} + \vec{B_2} = \left(0, dl_1z, -dl_1x\right) + \left(0, dl_2z, -dl_2y\right)\]

Теперь найдем модуль вектора \(\vec{B}\):

\[|\vec{B}| = \sqrt{(dl_1z + dl_2z)^2 + (-dl_1x - dl_2y)^2}\]

Подставим значения \(dl_1 = dl_2 = d\):

\[|\vec{B}| = \sqrt{(dz + dz)^2 + (-dx - dy)^2} = \sqrt{4d^2z^2 + (x + y)^2}\]

Теперь подставим значения \(x\) и \(y\) через \(d\) и найдем модуль вектора \(\vec{B}\).

Так как вершина \(\angle M\) прямоугольного равнобедренного треугольника находится на половине основания, то:

\[x = \frac{d}{2}\]

А так как прямоугольный треугольник равнобедренный, то:

\[y = x = \frac{d}{2}\]

Подставим значения \(x\) и \(y\) в формулу для модуля вектора \(\vec{B}\):

\[|\vec{B}| = \sqrt{4d^2z^2 + \left(\frac{d}{2} + \frac{d}{2}\right)^2} = \sqrt{4d^2z^2 + d^2} = d\sqrt{4z^2 + 1}\]

Теперь подставим \(d = 20 \, \text{см} = 0.2 \, \text{м}\) и найдем модуль вектора \(\vec{B}\) в точке М:

\[|\vec{B}| = 0.2\sqrt{4z^2 + 1}\]

Для округления значения до целого числа и перевода его из тесл в микротесл, умножим результат на \(10^6\) и округлим до ближайшего целого значения:

\[|\vec{B}| = \text{round}(0.2\sqrt{4z^2 + 1} \times 10^6)\]

Таким образом, модуль вектора индукции магнитного поля в точке М прямого угла треугольника будет выражаться как \(\text{round}(0.2\sqrt{4z^2 + 1} \times 10^6)\) мкТл.