Какой минимальной энергией должен обладать ион дейтерия, чтобы он мог двигаться в том же однородном магнитном поле

Чтобы найти минимальную энергию, которой должен обладать ион дейтерия, чтобы двигаться по круговой траектории в однородном магнитном поле, как и протон с энергией 600 кэВ, нам потребуется применить формулу для радиуса орбиты заряда в магнитном поле и формулу для кинетической энергии.

Для начала, нам необходимо знать радиус орбиты заряда в магнитном поле. Величина радиуса орбиты (R) связана с массой заряда (m), скоростью заряда (v) и силой Лоренца (F). Формула выглядит следующим образом:

\[R = \frac{mv}{|q|B},\]

где m - масса заряда, v - скорость заряда, q - величина заряда и B - магнитная индукция или сила магнитного поля.

Заряд дейтерия (D) составляет 1+, так как он состоит из одного протона и одного нейтрона. Поэтому |q| = e, где e - элементарный заряд.

Зная, что для протона с энергией 600 кэВ радиус орбиты составляет определенную величину (допустим, R₀), мы можем решить данную задачу с использованием формулы для кинетической энергии:

\[E_k = \frac{1}{2}mv^2.\]

Поскольку дана энергия 600 кэВ, она будет равна:

\[600\text{ кэВ} = \frac{1}{2}m(ve)^2.\]

Теперь мы можем найти выражение для энергии иона дейтерия (Eк_D):

\[E_k = \frac{1}{2}m_Dv_D^2,\]

где m_D - масса иона дейтерия и v_D - скорость иона дейтерия.

Теперь давайте свяжем радиус орбиты ионов дейтерия и протона через соотношение радиусов орбит:

\[\frac{R_D}{R_0} = \frac{v_D}{v_0},\]

где R_D - радиус орбиты иона дейтерия, R_0 - радиус орбиты протона, v_D - скорость иона дейтерия, v_0 - скорость протона.

Теперь мы можем выразить v_D через v_0:

\[v_D = \frac{R_D}{R_0}v_0.\]

Подставим это выражение для v_D в формулу для кинетической энергии иона дейтерия:

\[E_k = \frac{1}{2}m_D\left(\frac{R_D}{R_0}v_0\right)^2.\]

Сократим и упростим эту формулу:

\[E_k = \frac{1}{2}\left(\frac{R_D^2}{R_0^2}\right)m_Dv_0^2.\]

Теперь приведем это выражение к виду, где есть только масса иона дейтерия и его энергия:

\[E_k = \frac{1}{2}\left(\frac{R_D^2}{R_0^2}\right)m_Dv_0^2.\]

В этом выражении мы знаем значения для R_0 (из условия задачи) и m_D (масса иона дейтерия), но R_D нам пока неизвестно.

Так как радиус орбиты заряда в магнитном поле пропорционален его энергии, мы можем записать пропорциональность между Р_D и энергией иона дейтерия:

\[\frac{R_D}{E_{k_D}} = \frac{R_0}{E_{k_0}},\]

где E_{k_D} - энергия иона дейтерия, E_{k_0} - энергия протона.

Перепишем эту формулу, чтобы выразить R_D через E_{k_D}:

\[R_D = \frac{E_{k_D}}{E_{k_0}}R_0.\]

Теперь мы можем подставить это выражение для R_D в формулу для энергии иона дейтерия:

\[E_k = \frac{1}{2}\left(\frac{R_D^2}{R_0^2}\right)m_Dv_0^2.\]

\[E_k = \frac{1}{2}\left(\frac{\left(\frac{E_{k_D}}{E_{k_0}}R_0\right)^2}{R_0^2}\right)m_Dv_0^2.\]

Сократим и упростим эту формулу:

\[E_k = \frac{1}{2}\left(\frac{E_{k_D}^2}{E_{k_0}^2}\right)m_Dv_0^2.\]

Из условия задачи мы знаем, что E_{k_0} = 600 кэВ и m_D - масса иона дейтерия. Подставим эти значения:

\[E_k = \frac{1}{2}\left(\frac{E_{k_D}^2}{(600 \text{ кэВ})^2}\right)m_Dv_0^2.\]

Теперь мы можем выразить минимальную энергию E_{k_D} через известные значения, получив следующее уравнение:

\[E_k = \frac{1}{2}\left(\frac{E_{k_D}^2}{3.6 \times 10^5 \text{ кэВ}^2}\right)m_Dv_0^2.\]

Решим это уравнение для E_{k_D}:

\[E_{k_D}^2 = 2E_k \times 3.6 \times 10^5 \text{ кэВ}^2.\]

\[E_{k_D} = \sqrt{2E_k \times 3.6 \times 10^5 \text{ кэВ}^2}.\]

Таким образом, минимальной энергией, которой должен обладать ион дейтерия, чтобы двигаться по круговой траектории в однородном магнитном поле, как и протон с энергией 600 кэВ, является E_{k_D} = \sqrt{2E_k \times 3.6 \times 10^5 \text{ кэВ}^2}. Мы можем вычислить это значение, подставив известные значения в данное выражение.