Какой двусторонний угол содержит треугольники ABC и ACD в тетраэдре DABC, где ребро DB перпендикулярно плоскости

Чтобы определить двусторонний угол между треугольниками ABC и ACD в тетраэдре DABC, нам понадобится использовать теорему косинусов.

Первым шагом давайте определим сторону DB. Поскольку ребро DB перпендикулярно плоскости ABC, оно будет выступать в качестве высоты треугольника ABC. Таким образом, DB будет являться перпендикуляром к стороне AC. Ребро DB будет равняться h, обозначим это значение.

Известно, что угол ACB равен 90°, а стороны AC и BC равны 7 см. Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ACB, мы можем найти сторону AB.

\[\sqrt{AC^2 + BC^2} = AB\]
\[\sqrt{7^2 + 7^2} = AB\]
\[\sqrt{2×7^2} = AB\]
\[\sqrt{2}×7 = AB\]
\[AB = 7\sqrt{2} \text{ см}\]

Теперь у нас есть значения сторон AC, AB и DB. Мы можем использовать теорему косинусов для нахождения угла ACD.

Вспомним, что теорема косинусов гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\]

где c - сторона, противолежащая углу C.

Применим эту формулу для угла ACD, где a = AC, b = AD, c = CD:

\[CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2AC \cdot AD \cdot \cos(ACD)\]

Мы знаем, что AC = 7 см и AD = 7 корней из 2 см. Подставим эти значения в уравнение:

\[CD^2 = 7^2 + (7\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 7 \cdot 7\sqrt{2} \cdot \cos(ACD)\]
\[CD^2 = 49 + 49 \cdot 2 - 98\sqrt{2} \cdot \cos(ACD)\]
\[CD^2 = 49 + 98 - 98\sqrt{2} \cdot \cos(ACD)\]
\[CD^2 = 147 - 98\sqrt{2} \cdot \cos(ACD)\]

Теперь давайте рассмотрим треугольник DAB. Угол DAB равен 90°, а стороны DA и AB уже известны нам. Мы можем использовать опять теорему Пифагора.

Применим теорему Пифагора для треугольника DAB:

\[DB^2 = DA^2 + AB^2\]
\[DB^2 = 7^2 + (7\sqrt{2})^2\]
\[DB^2 = 49 + 49 \cdot 2\]
\[DB^2 = 49 + 98\]
\[DB^2 = 147\]
\[DB = \sqrt{147} \text{ см}\]

Теперь мы можем продолжить наше уравнение для CD:

\[CD^2 = 147 - 98\sqrt{2} \cdot \cos(ACD)\]

Альтернативным способом можно найти угол ACD с помощью теоремы синусов. Используем формулу:

\[\frac{\sin(ACD)}{AC} = \frac{\sin(90°)}{DB}\]

Поскольку \(\sin(90°) = 1\), то:

\[\sin(ACD) = \frac{AC}{DB}\]
\[\sin(ACD) = \frac{7}{\sqrt{147}}\]
\[\sin(ACD) = \frac{7\sqrt{147}}{147}\]

Теперь нам нужно найти значение \(\cos(ACD)\). Мы знаем, что \(\sin^2(ACD) + \cos^2(ACD) = 1\). Подставим значение \(\sin(ACD)\):

\[\cos^2(ACD) = 1 - \left(\frac{7\sqrt{147}}{147}\right)^2\]
\[\cos(ACD) = \sqrt{1 - \frac{49\cdot147}{147^2}}\]
\[\cos(ACD) = \sqrt{1 - \frac{49}{147}}\]
\[\cos(ACD) = \sqrt{1 - \frac{1}{3}}\]
\[\cos(ACD) = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}\]

Теперь мы можем вернуться к нашему уравнению для CD и подставить значение \(\cos(ACD)\):

\[CD^2 = 147 - 98\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}\]
\[CD^2 = 147 - 98 \cdot \frac{\sqrt{12}}{3}\]
\[CD^2 = 147 - 98 \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3}\]
\[CD^2 = 147 - 28\sqrt{3}\]

Итак, мы нашли \(CD^2\). Теперь найдем \(\angle DCA\) с помощью теоремы тангенсов:

\[\tan(DCA) = \frac{DB}{CD}\]
\[\tan(DCA) = \frac{\sqrt{147}}{\sqrt{147 - 28\sqrt{3}}}\]
\[\tan(DCA) = \frac{\sqrt{147}}{\sqrt{147 - 28\sqrt{3}}} \cdot \frac{\sqrt{147 + 28\sqrt{3}}}{\sqrt{147 + 28\sqrt{3}}}\]
\[\tan(DCA) = \frac{\sqrt{147} \cdot \sqrt{147 + 28\sqrt{3}}}{147 - 28\sqrt{3}}\]
\[\tan(DCA) = \frac{\sqrt{147(147 + 28\sqrt{3})}}{147 - 28\sqrt{3}}\]

Ответом на задачу будет значение угла DCA, которое можно получить, взяв обратный тангенс от найденного значения:

\[\angle DCA = \arctan\left(\frac{\sqrt{147(147 + 28\sqrt{3})}}{147 - 28\sqrt{3}}\right)\]

Таким образом, двусторонний угол между треугольниками ABC и ACD в тетраэдре DABC равен \(\arctan\left(\frac{\sqrt{147(147 + 28\sqrt{3})}}{147 - 28\sqrt{3}}\right)\).