Какой должен быть радиус цилиндра с такой же высотой, чтобы его полная поверхность была равной полной поверхности

Для решения этой задачи нам понадобится некоторое математическое рассуждение. Начнем с определения полной поверхности цилиндра и усеченного конуса.

Полная поверхность цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность цилиндра представляет собой прямоугольник, высота которого равна высоте цилиндра, а длина стороны равна окружности с радиусом цилиндра. Таким образом, полная поверхность цилиндра можно выразить формулой:

\[S_{\text{цил}}} = 2\pi r_{\text{цил}} h_{\text{цил}} + 2\pi r_{\text{цил}}^2,\]

где \(S_{\text{цил}}\) - полная поверхность цилиндра, \(r_{\text{цил}}\) - радиус цилиндра, \(h_{\text{цил}}\) - высота цилиндра.

Полная поверхность усеченного конуса складывается из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность усеченного конуса представляет собой трапецию с высотой, равной образующей конуса, и основаниями, равными окружностям с радиусами оснований конуса. Таким образом, полную поверхность усеченного конуса можно выразить формулой:

\[S_{\text{конус}} = \pi (r_1 + r_2) l_{\text{конус}},\]

где \(S_{\text{конус}}\) - полная поверхность усеченного конуса, \(r_1\) и \(r_2\) - радиусы верхнего и нижнего оснований соответственно, \(l_{\text{конус}}\) - образующая усеченного конуса.

Для того чтобы найти радиус цилиндра, равный по площади поверхности усеченного конуса, нужно приравнять выражения для площадей поверхностей цилиндра и усеченного конуса:

\[2\pi r_{\text{цил}} h_{\text{цил}} + 2\pi r_{\text{цил}}^2 = \pi (r_1 + r_2) l_{\text{конус}}.\]

Учитывая, что у нас все значения известны (радиусы оснований усеченного конуса - 6 и 10 см, образующая - нам неизвестна), мы можем составить уравнение и решить его относительно радиуса цилиндра \(r_{\text{цил}}\).

Пусть \(r_1 = 6\) см и \(r_2 = 10\) см, а \(l_{\text{конус}}\) - неизвестно. Тогда уравнение принимает вид:

\[2\pi r_{\text{цил}} h_{\text{цил}} + 2\pi r_{\text{цил}}^2 = \pi (6 + 10) l_{\text{конус}}.\]

Теперь разберемся с высотой цилиндра \(h_{\text{цил}}\). Поскольку усеченный конус и цилиндр имеют одинаковую высоту, мы можем использовать высоту усеченного конуса в качестве \(h_{\text{цил}}\).

Тогда у нас осталось одно неизвестное - \(r_{\text{цил}}\), радиус цилиндра. Решив полученное уравнение относительно \(r_{\text{цил}}\), можно найти ответ на задачу.