Какой должен быть минимальный диаметр трубки, чтобы Вася мог надуть шарик водой через нее с минимальным давлением

Для решения этой задачи, нам понадобятся законы гидростатики и уравнение Бернулли.

Сначала рассмотрим закон гидростатики. Он гласит, что давление внутри жидкости на любой глубине h равно сумме давления внешней среды и давления, вызванного силой тяжести, то есть:

\[P = P_0 + \rho g h\]

Где P - давление в жидкости на глубине h, P0 - давление внешней среды, ρ - плотность жидкости и g - ускорение свободного падения.

Теперь применим уравнение Бернулли для потока жидкости в трубке. Уравнение Бернулли гласит, что сумма давления, кинетической энергии и потенциальной энергии на одном уровне должна быть равна сумме этих энергий на другом уровне:

\[P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h = P_0 + \frac{1}{2} \rho v_0^2 + \rho g h_0\]

Где P - давление внутри трубки на одном уровне, P0 - давление внешней среды, ρ - плотность жидкости, v - скорость потока в трубке, v0 - скорость внешней среды, g - ускорение свободного падения, h - высота потока в трубке и h0 - высота внешней среды.

Мы хотим найти минимальный диаметр трубки, при котором давление внутри трубки должно быть равно 13 кПа.

Для начала, заменим известные значения в уравнении Бернулли и законе гидростатики. Заменим давление внутри трубки на 13 кПа (1 килопаскаль = 1000 Па), плотность воды на 1000 кг/м³ и ускорение свободного падения на 9,8 м/с².

\[13000 = P_0 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot v^2 + 1000 \cdot 9,8 \cdot h\]
\[P_0 = P_0 + 0 + 9800h\]

Теперь перейдем к нахождению скорости потока жидкости в трубке. Мы можем использовать закон сохранения массы для этого. Закон сохранения массы гласит, что массовый расход жидкости на одном уровне должен быть равен массовому расходу на другом уровне:

\[A_1 \cdot v_1 = A_2 \cdot v_2\]

Где A1 и A2 - площади поперечных сечений трубки на разных уровнях, v1 и v2 - скорости потока на этих уровнях.

Поскольку мы ищем минимальный диаметр трубки, скорость потока должна быть наибольшей на каждом уровне. Поэтому мы можем сказать, что площадь поперечного сечения трубки на каждом уровне будет пропорциональна скорости потока на этом уровне:

\[A_1 = k_1 \cdot v_1\]
\[A_2 = k_2 \cdot v_2\]

Где k1 и k2 - коэффициенты пропорциональности.

Подставим эти выражения в закон сохранения массы:

\[k_1 \cdot v_1 \cdot v_1 = k_2 \cdot v_2 \cdot v_2\]

Теперь мы можем решить уравнение для отношения скоростей потока:

\[\frac{v_2}{v_1} = \left(\frac{k_1}{k_2}\right)^{0.5}\]

Так как мы ищем наименьший диаметр трубки, то допустим, что на каждом уровне происходит потеря энергии вследствие трения, то есть \(P_0 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot v^2 = P_0\), следовательно можно сказать, что \(v_1 \approx v_2\) и \(k_1 \approx k_2\). То есть отношение скоростей будет равно 1.

\[ \frac{v_2}{v_1} = 1\]

Теперь возвращаемся к уравнению Бернулли:

\[13000 = P_0 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot v^2 + 1000 \cdot 9,8 \cdot h \rightarrow 0 = P_0 + \frac{1}{2} \cdot v^2 + 9,8 \cdot h\]

Заменяем \(v_1\) и \(v_2\) на \(v\) и учитывая уравнение сохранения массы:

\[0 = P_0 + \frac{1}{2} \cdot v \cdot v + 9,8 \cdot h \rightarrow 0 = P_0 + 9,8 \cdot h \rightarrow h = -\frac{P_0}{9,8}\]

Ищем минимальное значение h, поэтому \(h = 0\).

Окончательно, получаем:

\[h = 0 \quad\text{и}\quad v_2 = v_1 = v\]

Теперь можем подставить \(h = 0\) в уравнение гидростатики:

\[P = P_0 + \rho g h \rightarrow P = P_0\]

Таким образом, если шарик должен быть надут с минимальным давлением, то давление внутри трубки должно быть равно давлению внешней среды. Также, поскольку \(h = 0\), диаметр трубки не имеет значения. Васе нужно только, чтобы давление внутри трубки было равным или больше 13 кПа.