Какой будет вес ребенка в точке А, когда он останавливается у подножия крыши на расстоянии 30 м? На какой высоте

Давайте рассмотрим данную задачу. Для начала, чтобы решить ее, нам понадобится использовать закон всеобщей тяготения Ньютона.

Закон всеобщей тяготения гласит, что сила тяжести \(F\) между двумя объектами пропорциональна произведению их масс \(m_1\) и \(m_2\) и обратно пропорциональна квадрату расстояния \(r\) между ними:

\[F = G \cdot \frac{{m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

где \(G\) - гравитационная постоянная, значение которой равно \(6.67 \times 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2\).

В нашей задаче у нас есть два объекта - ребенок и Земля. Мы знаем, что масса Земли постоянна и равна приблизительно \(5.97 \times 10^{24}\) кг.

Для определения массы ребенка в точке А нам потребуется еще одна информация. У нас отсутствуют данные о массе ребенка и о том, на какой высоте находится точка А от земной поверхности. Без этих данных мы не сможем определить точное значение массы ребенка в точке А.

Однако, мы можем ответить на второй вопрос о высоте \(h\), на которой ребенок будет вдвое тяжелее.

По определению, ребенок будет вдвое тяжелее, когда сила тяжести, действующая на него от Земли на высоте \(h\), будет вдвое больше силы тяжести, действующей на него на земной поверхности.

По закону всеобщей тяготения, сила тяжести пропорциональна массе объекта и обратно пропорциональна квадрату расстояния от объекта до тяготеющего центра.

Таким образом, когда ребенок будет дважды тяжелее, мы можем записать уравнение:

\[
F(h) = 2 \cdot F(0)
\]

где \(F(h)\) - сила тяжести на высоте \(h\), а \(F(0)\) - сила тяжести на земной поверхности.

Сравним эти две силы, используя закон всеобщей тяготения:

\[
F(h) = G \cdot \frac{{m_{\text{ребенка}} \cdot m_{\text{Земли}}}}{{(R + h)^2}}
\]

\[
F(0) = G \cdot \frac{{m_{\text{ребенка}} \cdot m_{\text{Земли}}}}{{R^2}}
\]

где \(R\) - радиус Земли.

Подставляем эти выражения в равенство \(F(h) = 2 \cdot F(0)\):

\[
G \cdot \frac{{m_{\text{ребенка}} \cdot m_{\text{Земли}}}}{{(R + h)^2}} = 2 \cdot G \cdot \frac{{m_{\text{ребенка}} \cdot m_{\text{Земли}}}}{{R^2}}
\]

Сокращаем гравитационные постоянные и массы Земли:

\[
\frac{1}{{(R + h)^2}} = 2 \cdot \frac{1}{{R^2}}
\]

Упрощаем выражение:

\[
(R + h)^2 = 2 \cdot R^2
\]

Раскрываем квадрат:

\[
R^2 + 2 \cdot R \cdot h + h^2 = 2 \cdot R^2
\]

Переносим все члены в одну сторону:

\[
h^2 + 2 \cdot R \cdot h + R^2 - 2 \cdot R^2 = 0
\]

Сокращаем выражение:

\[
h^2 + 2 \cdot R \cdot h - R^2 = 0
\]

Данное квадратное уравнение имеет вид \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 1\), \(b = 2 \cdot R\), \(c = -R^2\). Решим его с помощью формулы дискриминанта:

\[
D = b^2 - 4ac = (2 \cdot R)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-R^2) = 4R^2 + 4R^2 = 8R^2
\]

\[
h_{1,2} = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{-2 \cdot R \pm \sqrt{8R^2}}}{{2}} = -R \pm R\sqrt{2}
\]

Так как \(h\) - высота, она не может быть отрицательной. Поэтому отбрасываем решение с отрицательным знаком перед корнем:

\[
h_{1} = -R + R\sqrt{2} \approx 0.414R
\]

Таким образом, ответ на второй вопрос: ребенок будет вдвое тяжелее на высоте примерно равной \(0.414\) от радиуса Земли.