Какой будет оптимальный набор потребительских товаров (q1, q2) и общая полезность TU для потребления, учитывая функцию

Для решения данной задачи о потребительском выборе мы будем использовать подход, основанный на равновесии между предельной полезностью и предельной стоимостью каждого товара.

Первым шагом определим предельную полезность каждого товара. Для этого возьмем производную функции полезности по каждому товару:

\[\frac{{\partial TU}}{{\partial q1}} = 0.75q2\]
\[\frac{{\partial TU}}{{\partial q2}} = 0.75q1\]

Затем, выразим предельную полезность в терминах предельной стоимости. Для этого применим правило равновесия предельной полезности и предельной стоимости:

\[\frac{{\frac{{\partial TU}}{{\partial q1}}}}{{p1}} = \frac{{\frac{{\partial TU}}{{\partial q2}}}}{{p2}}\]

Подставим значения предельных полезностей и цен товаров:

\[\frac{{0.75q2}}{{15}} = \frac{{0.75q1}}{{20}}\]

Упростим выражение:

\[\frac{{q2}}{{20}} = \frac{{q1}}{{15}}\]

Мы также знаем, что доход потребителя равен сумме затрат на потребительские товары:

\[R = p1 \cdot q1 + p2 \cdot q2\]

Подставим значения цен и дохода:

\[500 = 15 \cdot q1 + 20 \cdot q2\]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (q1 и q2):

\[\frac{{q2}}{{20}} = \frac{{q1}}{{15}}\]
\[500 = 15 \cdot q1 + 20 \cdot q2\]

Можно решить эту систему уравнений, например, методом подстановки или методом равных коэффициентов.

Давайте выберем метод подстановки. Решим первое уравнение относительно \(q1\):

\[q1 = \frac{{q2 \cdot 15}}{{20}}\]

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

\[500 = 15 \cdot \left(\frac{{q2 \cdot 15}}{{20}}\right) + 20 \cdot q2\]

Упростим выражение:

\[500 = \frac{{225q2}}{{20}} + 20 \cdot q2\]

\[500 = 11.25q2 + 20 \cdot q2\]

\[500 = 31.25q2\]

\[q2 = \frac{{500}}{{31.25}}\]

Вычислим \(q1\) с использованием первого уравнения:

\[q1 = \frac{{q2 \cdot 15}}{{20}} = \frac{{\left(\frac{{500}}{{31.25}}\right) \cdot 15}}{{20}}\]

Вычислим значения \(q1\) и \(q2\):

\[q1 = \frac{{500 \cdot 15}}{{20 \cdot 31.25}} \approx 9.6\]
\[q2 = \frac{{500}}{{31.25}} \approx 16\]

Таким образом, оптимальный набор потребительских товаров будет (9.6, 16) и общая полезность TU для потребления будет соответствовать функции полезности TU = 0.75q1q2:

\[TU = 0.75 \cdot 9.6 \cdot 16 = 115.2\]

Получаем, что оптимальный набор потребительских товаров (q1, q2) для данной функции полезности при указанных ценах и доходе составляет (9.6, 16), а общая полезность TU равна 115.2.