Какой базис можно найти и какова размерность линейного пространства решений в системе Типового расчёта?

В системе Типового расчёта, чтобы найти базис и размерность линейного пространства решений, мы должны сначала выразить систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы и привести ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. Затем мы сможем выделить базисные переменные и свободные переменные для построения базиса решений и определения размерности пространства.

Рассмотрим общий вид системы линейных уравнений. Пусть дана система уравнений:

\[
\begin{align*}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n &= b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n &= b_2 \\
\ldots \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n &= b_m \\
\end{align*}
\]

где \(a_{ij}\) - коэффициенты, \(x_i\) - переменные, \(b_i\) - свободные члены.

1. Создаем расширенную матрицу системы, добавляя столбец свободных членов справа от матрицы коэффициентов:

\[
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & | & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & | & b_2 \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & | & \ldots \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} & | & b_m \\
\end{bmatrix}
\]

2. Приводим расширенную матрицу к ступенчатому виду, используя элементарные преобразования строк (замена одной строки на сумму этой строки и произведения другой строки на число):

- Делаем первый ненулевой элемент каждой строки (главным элементом) равным 1 (если такой элемент есть). Для этого можно разделить строку на значение этого элемента.
- Обнуляем все элементы под и над каждым главным элементом, используя вычитание строк с соответствующими коэффициентами.

3. После приведения матрицы к ступенчатому виду, выделяем базисные переменные (столбцы с главными элементами) и свободные переменные (столбцы без главных элементов). Количество свободных переменных будет определять размерность линейного пространства решений.

4. Базисные переменные - это переменные, которые имеют значения в зависимости от свободных переменных. Также можно записать базисные переменные в виде свободных переменных (равны 0) и базисных констант (равны соответствующим свободным членам).

5. Формируем базис решений, состоящий из векторов, соответствующих свободным переменным. Для этого присваиваем свободным переменным значения 1, а остальным переменным (базисным и свободным) значения 0, и подставляем эти значения в систему уравнений. Полученные результаты будут являться векторами базиса.

Таким образом, после выполнения данных шагов мы можем найти базис и определить размерность линейного пространства решений в системе Типового расчёта.