Каковы значения первой и второй космических скоростей для Луны, которая имеет массу в 81 раз меньше и радиус в 4 раза

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать законы сохранения механической энергии и закон всемирного тяготения.

Для начала, нам понадобится некоторая информация о Земле. Давайте обозначим массу Земли как \(M_{\text{Земли}}\) и радиус Земли как \(R_{\text{Земли}}\).

Зная это, мы можем выразить формулу для космической скорости на Земле (первая космическая скорость) используя закон сохранения механической энергии:

\[v_1 = \sqrt{\frac{2G M_{\text{Земли}}}{R_{\text{Земли}}}}\],

где \(G\) - гравитационная постоянная.

Теперь мы можем перейти к решению задачи для Луны, используя информацию о Земле.

Массу Луны обозначим как \(M_{\text{Луны}}\) и радиус Луны как \(R_{\text{Луны}}\). Из условия задачи нам известно, что масса Луны в 81 раз меньше, чем масса Земли (\(M_{\text{Луны}} = \frac{1}{81} M_{\text{Земли}}\)), а радиус Луны в 4 раза меньше, чем радиус Земли (\(R_{\text{Луны}} = \frac{1}{4} R_{\text{Земли}}\)).

Мы можем использовать эти значения для подстановки в формулу космической скорости для Луны:

\[v_{1_{\text{Луна}}} = \sqrt{\frac{2G M_{\text{Луны}}}{R_{\text{Луны}}}}\].

Для нахождения второй космической скорости на Луне (скорости, необходимой для полета с поверхности Луны) мы используем закон всемирного тяготения:

\[v_2 = \sqrt{\frac{G M_{\text{Луны}}}{R_{\text{Луны}}}}\].

Теперь, давайте подставим значения массы Луны и радиуса Луны в эти формулы и проведем вычисления:

\[v_{1_{\text{Луна}}} = \sqrt{\frac{2G \cdot \frac{1}{81} M_{\text{Земли}}}{\frac{1}{4} R_{\text{Земли}}}}\],

\[v_2 = \sqrt{\frac{G \cdot \frac{1}{81} M_{\text{Земли}}}{\frac{1}{4} R_{\text{Земли}}}}\].

Таким образом, значения первой и второй космических скоростей для Луны будут равны вычисленным значениям \(v_{1_{\text{Луна}}}\) и \(v_2\) соответственно.

Перед проведением точных вычислений, необходимо обратить внимание на то, что в данной задаче не указаны конкретные числовые значения для массы Земли и радиуса Земли. Поэтому, мы не можем дать конкретный ответ, но можем выразить скорости в зависимости от массы и радиуса Земли, которые предполагаются известными значениями.

Основываясь на формулах и подстановке конкретных значений, можно провести вычисления для определения скоростей.