Каковы значения первой и второй космических скоростей для Луны, которая имеет массу в 81 раз меньше и радиус в 4 раза

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать законы сохранения механической энергии и закон всемирного тяготения.

Для начала, нам понадобится некоторая информация о Земле. Давайте обозначим массу Земли как $M_{\text{Земли}}$ и радиус Земли как $R_{\text{Земли}}$.

Зная это, мы можем выразить формулу для космической скорости на Земле (первая космическая скорость) используя закон сохранения механической энергии:

$$v_1=\sqrt{\frac{2G{M}_{\text{Земли}}}{R_{\text{Земли}}}}$$,

где $G$ - гравитационная постоянная.

Теперь мы можем перейти к решению задачи для Луны, используя информацию о Земле.

Массу Луны обозначим как $M_{\text{Луны}}$ и радиус Луны как $R_{\text{Луны}}$. Из условия задачи нам известно, что масса Луны в 81 раз меньше, чем масса Земли ($M_{\text{Луны}}=\frac{1}{81}{M}_{\text{Земли}}$), а радиус Луны в 4 раза меньше, чем радиус Земли ($R_{\text{Луны}}=\frac{1}{4}{R}_{\text{Земли}}$).

Мы можем использовать эти значения для подстановки в формулу космической скорости для Луны:

$$v_{1_{\text{Луна}}}=\sqrt{\frac{2G{M}_{\text{Луны}}}{R_{\text{Луны}}}}$$.

Для нахождения второй космической скорости на Луне (скорости, необходимой для полета с поверхности Луны) мы используем закон всемирного тяготения:

$$v_2=\sqrt{\frac{G{M}_{\text{Луны}}}{R_{\text{Луны}}}}$$.

Теперь, давайте подставим значения массы Луны и радиуса Луны в эти формулы и проведем вычисления:

$$v_{1_{\text{Луна}}}=\sqrt{\frac{2G\cdot \frac{1}{81}{M}_{\text{Земли}}}{\frac{1}{4}{R}_{\text{Земли}}}}$$,

$$v_2=\sqrt{\frac{G\cdot \frac{1}{81}{M}_{\text{Земли}}}{\frac{1}{4}{R}_{\text{Земли}}}}$$.

Таким образом, значения первой и второй космических скоростей для Луны будут равны вычисленным значениям $v_{1_{\text{Луна}}}$ и $v_2$ соответственно.

Перед проведением точных вычислений, необходимо обратить внимание на то, что в данной задаче не указаны конкретные числовые значения для массы Земли и радиуса Земли. Поэтому, мы не можем дать конкретный ответ, но можем выразить скорости в зависимости от массы и радиуса Земли, которые предполагаются известными значениями.

Основываясь на формулах и подстановке конкретных значений, можно провести вычисления для определения скоростей.