Каковы значения большой полуоси a и малой полуоси b данного эллипса, который симметричен относительно осей координат

Для решения этой задачи, нам нужно использовать свойства эллипса и систему координат. Давайте начнем по шагам:

Шаг 1: Понимание симметрии эллипса
Из условия задачи, нам сказано, что эллипс симметричен относительно осей координат. Это означает, что основные параметры эллипса, такие как большая полуось и малая полуось, будут одинаковы для обеих половин эллипса.

Шаг 2: Использование уравнения эллипса
Мы можем использовать уравнение эллипса, чтобы найти значения большой полуоси "a" и малой полуоси "b". Уравнение эллипса выглядит следующим образом:

\[\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1\]

где (x, y) - координаты точки на эллипсе, а a и b - большая и малая полуоси соответственно.

Шаг 3: Подстановка известных точек
Мы знаем, что эллипс проходит через две точки:

Точка 1: \(\left(\frac{{10\sqrt{2}}}{3}, \frac{2}{3}\right)\)
Точка 2: \(\left(\frac{{5\sqrt{3}}}{2}, \ ?\right)\) (нам нужно найти значение y для этой точки)

Мы можем использовать уравнение эллипса, чтобы определить значения a и b, подставляя известные координаты точек в уравнение.

Давайте начнем с точки 1:

\[\left(\frac{{\frac{{10\sqrt{2}}}{3}}}{a}\right)^2 + \left(\frac{{\frac{2}{3}}}{b}\right)^2 = 1\]

Подставив точку 1 в уравнение, получаем:

\[\left(\frac{{10\sqrt{2}}}{3a}\right)^2 + \left(\frac{{2}{3b}}\right)^2 = 1\]

Следующим шагом, давайте подставим точку 2:

\[\left(\frac{{\frac{{5\sqrt{3}}}{2}}}{a}\right)^2 + \left(\frac{{y}}{b}\right)^2 = 1\]

Поскольку эллипс симметричен, значение y для точки 2 будет противоположным значению y для точки 1.

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (a и b) и две известных точки. Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки или методом исключения неизвестных. Однако, для упрощения вычислений, я предлагаю воспользоваться методом исключения.

Применяя метод исключения, мы выразим \(y\) через \(a\) и \(b\) из уравнения с точкой 1:

\[y = \frac{2}{3b}\sqrt{a^2b^2 - \frac{200}{9}}\]

Далее, мы подставим это второе уравнение с точкой 2:

\[\left(\frac{{5\sqrt{3}}}{2}\right)^2 + \left(\frac{2}{3b}\sqrt{a^2b^2 - \frac{200}{9}}\right)^2 = 1\]

Раскрыв эти уравнения, мы получим квадратное уравнение относительно \(a\) и \(b\):

\[150a^2 + 100b^2 - 450a = 100a^2b^2 - 100\]

Далее, можно решить это квадратное уравнение для \(a\) и \(b\) и найти их значения.

Пожалуйста, заметьте, что точное решение этого уравнения может потребовать некоторых математических навыков и может быть сложно выразить ответ в точных числах без использования калькулятора.

Вы могли бы предоставить точные значения для точек 2 и продолжить вместе со мной, чтобы детально решить это квадратное уравнение?