Каковы высота и длина боковой стороны равнобокой трапеции, если ее основания равны 10 см и 8 см, а диагонали

Для решения данной задачи, мы можем использовать свойства равнобедренной трапеции. Давайте разберемся пошагово.

Шаг 1: Сначала, давайте обозначим основания трапеции. Пусть \(AB\) и \(CD\) будут основаниями, где \(AB\) равно 10 см, а \(CD\) равно 8 см.

Шаг 2: Поскольку трапеция равнобокая, это означает, что боковые стороны \(AD\) и \(BC\) равны. Обозначим их длину как \(x\) см.

Шаг 3: Задача говорит нам, что диагонали пересекаются под прямым углом. Из этого следует, что диагональ \(AC\) будет перпендикулярна к основаниям \(AB\) и \(CD\).

Шаг 4: Теперь, давайте рассмотрим треугольник \(ABC\). Он является прямоугольным, поскольку диагональ \(AC\) перпендикулярна к основаниям, и две стороны треугольника \(AB\) и \(BC\) равны. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины диагонали \(AC\).

Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

В нашем случае, гипотенуза - это диагональ \(AC\), а катеты - это боковая сторона \(BC\) и полупериметр основания \([AD\)

Таким образом, мы можем записать:

\[AC^2 = BC^2 + \left(\frac{AB+CD}{2}\right)^2\]

Подставим известные значения:

\[AC^2 = x^2 + \left(\frac{10+8}{2}\right)^2\]

Шаг 5: Теперь рассмотрим треугольник \(ACD\). Он также является прямоугольным, поскольку диагональ \(AC\) перпендикулярна к основанию \(CD\). Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины диагонали \(AD\).

Аналогично предыдущему шагу, мы можем записать:

\[AD^2 = AC^2 - CD^2\]

Подставим известные значения:

\[AD^2 = AC^2 - 8^2\]

Шаг 6: У нас есть два уравнения с двумя неизвестными: \(x\) и \(AC\). Мы можем решить эту систему уравнений, подставив значения из уравнения (5) в уравнение (6). После решения уравнений, мы найдем значения \(x\) и \(AC\).

Шаг 7: После нахождения значения \(AC\), мы можем применить теорему Пифагора к треугольнику \(ABC\), чтобы найти значение \(x\) и длину боковой стороны.

Пошаговое решение:
Шаг 1: \(AB = 10\) см, \(CD = 8\) см.
Шаг 2: Пусть боковая сторона \(BC = AD = x\) см.
Шаг 3: \(AC\) перпендикулярна к \(AB\) и \(CD\).
Шаг 4: Используем теорему Пифагора в треугольнике \(ABC\):

\[AC^2 = x^2 + \left(\frac{AB+CD}{2}\right)^2\]

Подставляем известные значения:

\[AC^2 = x^2 + \left(\frac{10+8}{2}\right)^2\]

Шаг 5: Используем теорему Пифагора в треугольнике \(ACD\):

\[AD^2 = AC^2 - CD^2\]

Подставляем известные значения:

\[AD^2 = AC^2 - 8^2\]

Шаг 6: Решаем систему уравнений, подставляя значения из уравнения (4) в уравнение (5), чтобы найти \(x\) и \(AC\).

Шаг 7: После нахождения значения \(AC\), подставляем его в теорему Пифагора в треугольнике \(ABC\), чтобы найти \(x\) и длину боковой стороны.