Каковы вероятности следующих событий в серии из четырех матчей между командами A и B: 1) Все матчи закончатся вничью

Давайте рассмотрим каждое из этих событий по очереди:

1) Все матчи закончатся вничью. Представим каждый матч как отдельное событие, где у нас есть три возможных исхода: победа команды A, победа команды B или ничья. В данном случае у нас есть три возможных исхода для каждого матча, и так как у нас четыре матча, мы можем составить дерево вероятностей для этого события.

Вероятность ничьей в каждом матче (p) предположим одинаковая: \(p = \frac{1}{3}\)
Вероятность победы команды B в каждом матче равная вероятности победы команды A: \(q = \frac{1}{3}\)

Для каждого матча вероятность ничьей будет \(p = \frac{1}{3}\), а вероятность победы каждой команды будет \(q = \frac{1}{3}\).

Теперь, чтобы получить вероятность того, что все матчи закончатся вничью, нам нужно перемножить вероятности ничьи для каждого матча:

\[P(\text{все матчи вничью}) = p \cdot p \cdot p \cdot p = \left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1}{81}\]

Таким образом, вероятность того, что все матчи закончатся вничью, равна \(\frac{1}{81}\).

2) Команда B не проиграет ни одного матча. Здесь мы рассматриваем только два возможных исхода для каждого матча: победа команды B или ничья. Вероятность ничьей по-прежнему равна \(p = \frac{1}{3}\). Вероятность победы команды B равна \(q = \frac{1}{3}\).

Чтобы команда B не проиграла ни одного матча, она должна либо выиграть каждый матч, либо сыграть вничью. Таким образом, вероятность этого события будет:

\[P(\text{команда B не проиграет ни одного матча}) = p \cdot p \cdot p \cdot p + (1 - p) \cdot p \cdot p \cdot p + p \cdot (1 - p) \cdot p \cdot p + p \cdot p \cdot (1 - p) \cdot p = \left(\frac{1}{3}\right)^4 + \left(\frac{2}{3}\right) \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 + \left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right) + \left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right) = \frac{44}{81}\]

Таким образом, вероятность того, что команда B не проиграет ни одного матча, равна \(\frac{44}{81}\).

3) Команда A победит только во втором матче. Здесь у нас три возможных исхода для каждого матча: победа команды A, победа команды B или ничья. Вероятности каждого исхода по-прежнему равны \(p = \frac{1}{3}\) и \(q = \frac{1}{3}\).

Чтобы команда A победила только во втором матче, у нее должна быть ничья в первом, победа во втором, и ничьи в третьем и четвертом матчах. Таким образом, вероятность этого события будет:

\[P(\text{команда A победит только во втором матче}) = (1 - p) \cdot p \cdot (1 - p) \cdot (1 - p) = \left(\frac{2}{3}\right) \cdot \left(\frac{1}{3}\right) \cdot \left(\frac{2}{3}\right) \cdot \left(\frac{2}{3}\right) = \frac{8}{81}\]

Таким образом, вероятность того, что команда A победит только во втором матче, равна \(\frac{8}{81}\).

4) Команда A победит только один раз в серии. Здесь также у нас три возможных исхода для каждого матча: победа команды A, победа команды B или ничья. Вероятности каждого исхода равны \(p = \frac{1}{3}\) и \(q = \frac{1}{3}\).

Чтобы команда A победила только один раз, у нее должна быть победа в одном матче и ничьи в остальных трех матчах. Это может произойти в четырех разных комбинациях: в первом, втором, третьем или четвертом матче. Таким образом, вероятность этого события будет:

\[P(\text{команда A победит только один раз в серии}) = p \cdot (1 - p) \cdot (1 - p) \cdot (1 - p) + (1 - p) \cdot p \cdot (1 - p) \cdot (1 - p) + (1 - p) \cdot (1 - p) \cdot p \cdot (1 - p) + (1 - p) \cdot (1 - p) \cdot (1 - p) \cdot p = 4 \cdot \left(\frac{1}{3}\right) \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{32}{81}\]

Таким образом, вероятность того, что команда A победит только один раз в серии, равна \(\frac{32}{81}\).

Вот подробные и обоснованные ответы на каждое из заданных вопросов.