Каковы условия нахождения экстремума функции Z=1+15x-2x^2-xy-2y^2?

Чтобы найти условия нахождения экстремума функции Z = 1 + 15x - 2x^2 - xy - 2y^2, нам необходимо проделать несколько шагов. Давайте разберемся с этим пошагово:

Шаг 1: Найдем частные производные функции Z по x и y.
Частная производная по x (обозначим ее Z_x) - это производная функции Z по x, при этом все остальные переменные (в данном случае y) считаются постоянными. Чтобы найти Z_x, возьмем производную каждого слагаемого по отдельности и сложим полученные результаты:

Z_x = d(1)/dx + d(15x)/dx - d(2x^2)/dx - d(xy)/dx - d(2y^2)/dx

Дифференцируя каждое слагаемое, получим:

Z_x = 0 + 15 - 4x - y - 0

Упростим выражение:

Z_x = 15 - 4x - y

Аналогично, частная производная по y (обозначим ее Z_y) будет:

Z_y = d(1)/dy + d(15x)/dy - d(2x^2)/dy - d(xy)/dy - d(2y^2)/dy

Дифференцируя каждое слагаемое, получим:

Z_y = 0 + 0 - 0 - x - 4y

Упростим выражение:

Z_y = -x - 4y

Шаг 2: Найдем точки, в которых частные производные равны нулю.
Чтобы найти точки экстремума функции, нужно решить систему уравнений, приравняв оба частных производные к нулю:

Z_x = 15 - 4x - y = 0
Z_y = -x - 4y = 0

Решим эту систему уравнений методом подстановки или методом сложения/вычитания. Допустим, мы выбираем метод сложения/вычитания.

Умножим уравнение Z_y на 4 и сложим его с уравнением Z_x:

15 - 4x - y -4x - 16y = 0
15 - 8x - 17y = 0

Упростим это уравнение:

-8x - 17y = -15

Теперь решим уравнение относительно одной из переменных. Допустим, мы выбираем x:

x = (15 - 17y) / -8

Шаг 3: Подставим найденное значение x в уравнение для Z_y и решим его:

Z_y = -x - 4y = 0

Подставляем значение x:

-(15 - 17y) / 8 - 4y = 0

Упростим это уравнение:

-15 + 17y - 32y = 0
-15 - 15y = 0

Решаем это уравнение:

-15y = 15
y = -1

Шаг 4: Найдем соответствующее значение x, подставив найденное значение y в уравнение для x:

x = (15 - 17y) / -8
x = (15 - 17*(-1)) / -8
x = 1

Итак, мы получили точку экстремума функции Z: (x, y) = (1, -1).

Шаг 5: Найдем значение функции Z в этой точке.
Чтобы найти значение функции Z в точке (1, -1), подставим значения x и y в исходное уравнение:

Z = 1 + 15x - 2x^2 - xy - 2y^2
Z = 1 + 15*1 - 2*1^2 - 1*1 - 2*(-1)^2
Z = 1 + 15 - 2 - 1 + 2
Z = 15

Итак, значение функции Z в точке экстремума (1, -1) равно 15.

Вывод: Мы нашли точку экстремума функции Z = 1 + 15x - 2x^2 - xy - 2y^2, которая равна (1, -1). Значение функции Z в этой точке составляет 15.