Каковы сторона основания и высота правильной четырёхугольной призмы, если общая площадь ее поверхности равна 52 см^2

Давайте решим эту задачу. Пусть сторона основания прямоугольной призмы равна \( a \), а высота призмы равна \( h \).

У правильной четырёхугольной призмы есть две основания, каждое из которых является квадратом. Таким образом, площадь одного основания равна \( a^2 \).

Площадь боковой поверхности призмы можно найти, зная периметр основания и высоту призмы. Поскольку основание призмы - квадрат, периметр основания равен \( 4a \). Таким образом, площадь боковой поверхности равна \( 4ah \).

Общая площадь поверхности призмы равна сумме площади двух оснований и площади боковой поверхности:

\[2a^2 + 4ah = 52 \quad (1)\]
\[a^2 + 2ah = 26 \quad (2)\]
\[a(a + 2h) = 26 \quad (3)\]

Уравнение (3) нам говорит, что произведение \(a\) и \(a + 2h\) равно 26.

Нам также дано, что площадь боковой поверхности составляет 44 см^2, поэтому мы можем записать:

\[4ah = 44 \quad (4)\]

Теперь у нас есть два уравнения, (3) и (4), и два неизвестных, \(a\) и \(h\).

Давайте решим эти уравнения. Сперва разделим уравнение (3) на \(a\):

\[a + 2h = \frac{26}{a} \quad (5)\]

Затем, выразим \(h\) из уравнения (5):

\[2h = \frac{26}{a} - a \quad (6)\]
\[h = \frac{26}{2a} - \frac{a}{2} = \frac{13}{a} - \frac{a}{2} \quad (7)\]

Теперь, подставим \(h\) из уравнения (7) в уравнение (4):

\[4a\left(\frac{13}{a} - \frac{a}{2}\right) = 44 \quad (8)\]

После упрощения и решения уравнения (8), получим:

\[ \frac{26 - a^2}{2} = 11 \quad (9)\]

Умножим уравнение (9) на 2:

\[26 - a^2 = 22 \quad (10)\]

Теперь, решим уравнение (10) чтобы найти значения \( a \):

\[a^2 = 26 - 22 = 4 \quad (11)\]
\[a = \sqrt{4} = 2 \quad (12)\]

Мы получили, что сторона основания \( a \) равна 2 см.

Теперь, подставим это значение \( a = 2 \) в уравнение (7), чтобы найти высоту \( h \):

\[h = \frac{13}{2} - \frac{2}{2} = \frac{11}{2} \quad (13)\]

Мы получили, что высота \( h \) равна \(\frac{11}{2}\) см.

Таким образом, сторона основания равна 2 см, а высота равна \(\frac{11}{2}\) см.