Каковы скорость и полное ускорение точки на ободе маховика в пятую секунду времени, если маховик диаметром

Для решения данной задачи, нам понадобится производная функции \(f(t)\), описывающей уравнение вращения маховика, по времени \(t\). Производная функции позволит нам вычислить скорость и полное ускорение точки на ободе маховика.

Дано уравнение вращения маховика: \(f = 0,2t^2 + 6t\)

Для нахождения производной этой функции, нам необходимо взять производную от каждого слагаемого по отдельности, используя правило дифференцирования. Давайте посмотрим на каждое слагаемое по очереди:

1) Слагаемое \(0,2t^2\): для его дифференцирования мы используем правило степенной функции, которое гласит: если у нас есть функция \(f(t) = a \cdot t^n\), то её производная равна \(f"(t) = a \cdot n \cdot t^{n-1}\).

Применяя это правило к нашему слагаемому, получаем:
\(\frac{d}{dt}(0,2t^2) = 0,2 \cdot 2 \cdot t^{2-1} = 0,4t\)

2) Слагаемое \(6t\): согласно правилу дифференцирования, функция \(f(t) = at\) имеет производную \(f"(t) = a\).

Применяя это правило к нашему слагаемому, получаем:
\(\frac{d}{dt}(6t) = 6\)

Теперь, когда у нас есть производные, мы можем вычислить скорость и полное ускорение точки на ободе маховика в пятую секунду времени.

1) Скорость точки на ободе маховика в пятую секунду времени будет равна производной функции \(f(t)\) в этот момент времени. То есть, мы подставляем \(t = 5\) в выражение для производной \(0,4t\) и получаем:
\(v = \frac{d}{dt}(0,2t^2) + \frac{d}{dt}(6t) = 0,4 \cdot 5 + 6 = 2 + 6 = 8\) м/с

2) Полное ускорение точки на ободе маховика, также известное как радиальное ускорение, определяется формулой \(a = \frac{v^2}{r}\), где \(r\) - радиус маховика.

У нас дан диаметр маховика, поэтому радиус будет равен половине диаметра:
\(r = \frac{500}{2} = 250\) мм = 0,25 м

Подставляем найденное значение скорости в формулу:
\(a = \frac{8^2}{0,25} = \frac{64}{0,25} = 256\) м/с²

Таким образом, скорость точки на ободе маховика в пятую секунду времени равна 8 м/с, а полное ускорение (радиальное ускорение) равно 256 м/с².